四點共圓（圓內接四邊形）是平面幾何里的一個重要模型，涉及的對象很多，使用靈活，難度很大。以其中的角度關系來說，主要包括外角等于內對角、同弦所對的角相等（角在弦的同側）或互補（角在弦的兩側）這兩個重要結論，而且很好的一點是其逆命題也成立，即可以通過角度關系來判斷四個點是不是共圓。本文略舉數例，介紹其應用。

問題一：圓內接四邊形有一組對邊平行，則另一組對邊相等

已知：、、、 四點共圓，且 。

求證：。

證明：連接對角線 、，二者相交于 點。

因為 ，所以 。

又因為 、、、 四點共圓，所以 。

即 。

所以 。（等角對等邊）

同樣因為 、、、 四點共圓，可得 ，。

所以 。（角角邊）即 。得證。

這里兩次直接用到四點共圓的角度關系，使之得到充分的利用，干凈利落。若用其它方法，恐迂回笨拙。

問題二：證明相交圓得到的兩弦平行

這道題并不難，但是《許莼舫初等幾何四種》（許莼舫著，中國青年出版社 1978 年出版）中介紹了這道題的各種變化形式，居然達到 23 種之多。因其證明簡單，具體過程就略去了。

已知：兩圓相交于 、，通過兩交點各作一直線 、，止于兩圓。

求證：。

學生經常會陷入題海不能自拔，如果老師在教學中能抓住題目的“靈魂”，也就是“萬變”表象下的“不變”之處，就能擺脫困境了。

問題三：作頂點在給定三平行線 、、 上的正三角形

這一題至少有兩種解法，最終的證明過程都和四點共圓有關。這兩種做法都來自《圓之吻——有趣的尺規作圖》（作者莫海亮，電子工業出版社 2016 年出版），但沒有證明。

解法一

作法：

1. 作任意直線與已知平行線垂直，分別交三線于 、、 點；
2. 過 的中點作直線 與 平行；
3. 過 作 與 成 ，交 于 點；
4. 連接 并延長，交 于 ；
5. 作角 等于 ，交 于 點；
6. 連接 。三角形 即為所求。

證明：

連接 。

因為角 和角 都是 ，所以 、、、 四點共圓，所以 與 互補，也等于 。

因為 是 的中點，且 與 平行， 所以 是 的中位線，。

又因為 是公共的，，所以 ，所以 。

得證。

關于圓內接四邊形的角度關系，有一個特例：如果一個角是直角，其對角也是直角。前面就利用了這個關系。而且從本題可以看出，四點共圓中的“圓”不一定在作圖過程中給出，有時只在證明過程中才會出現，下面的解法亦然。之所以如此，是因為如果只利用角度關系而不涉及線段長度，則只需要做出等角即可，無需找直線和圓弧的交點。而在證明過程中，如果看到同一線段所對的兩個。

解法二

作法：

1. 以中間線 為一邊，作正三角形 ，其中 、 在 上， 在 上；
2. 作 的延長線，交 于 點；
3. 作角 等于 ，交 于 點；
4. 連接 。三角形 即為所求。證明略

和四點共圓角度關系有關的證明當然遠不止以上兩題，另外比較著名的問題是三角形三條高線共點的證明，以及反演圓的做法。除此以外，在《幾何明珠》這本書中，用到四點共圓角度關系的包括婆羅摩及多定理、九點圓、斯坦納-雷米歐司定理、蝴蝶定理、西姆松定理、米凱爾圓定理，這里就不一一列舉了，敬請讀者閱讀欣賞。

關于“幾何模型”的話題似乎可以告一段落了，至少本人目前沒有繼續寫下去的能力了。我也曾經想過把常見模型整理一遍，后來想還不如讓同學們自己總結。如果我將來還能就這個話題再說一些東西，會及時和大家分享。本文要說的最后一點是，雖然幾何模型很重要，但是我們的學習也要明確重點和難點，不能“胡子眉毛一把抓”，這是因為如果要細究幾何模型的話，會發現內容太過豐富，光是掌握這些模型就不勝其煩，又怎么能用來幫助解題呢？(- End -)