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數學理解已越來越成為數學教育的熱點話題，國內很多學者就該論題發表了自己的研究成果與心得[i] [ii] [iii] [iv] [v] [vi]。總體說來，大家是在力圖借鑒國外的理論成果（主要是認知主義學習心理學、建構主義學習理論）的基礎上，融合自己的理論認識與實踐體悟，從各個微觀層面上（理解的類型、理解的模型、解題中的理解、概念理解等）構建既有理論支撐，同時又具有實踐可操作性的策略模式。本文試圖跳出這一研究思路，在著力吸收國外對理解與數學理解的最新研究進展基礎上，截取幾個具有研究價值的視角（認知建構觀、情境文化觀、意義觀、教學設計觀、評價觀），從整體上輸理與探悉數學理解的各種理論意義與教育實踐意涵。筆者試圖通過論述，對為什么要理解數學、為什么要研究數學理解、數學理解的本質是什么、怎么樣在教學中去促進數學理解以及如何評價理解等一些帶有本體論意味的問題做一個概要性、宏觀性的分析探討，希望能使大家獲得對數學理解的更全面、更深刻的“理解”，從而對數學教學實踐有所助益。

一、數學理解的意義觀

數學理解的意義何在？對該追問，筆者將從理論研究的意義、個體發展的意義和社會需求的意義等三個方面做出辨析。

從理論研究的角度看，理解與數學理解的研究意義體現在它的廣闊包容性和相對獨立性。可以說，理解與數學理解的研究涉足哲學、社會學、學習學、人類學、文化學等各個領域。它為我們提供了一個研究視角，使我們在把握各個背景領域的內涵演化的同時，不斷豐富、充實、更新著對它的認識與解讀。以學習科學領域中理解觀的演變為例。行為主義崇尚刺激反應之間的聯結，閉口不談“心理、意識與理解”等不可捉摸的東西。格式塔學派崇尚“完形”，認為理解就是“頓悟”，就是在心理上構建“完形”。到了認知主義學派，奧蘇伯爾認為理解就是意義同化，布魯納則持結構主義理解說。隨著建構主義學習理論轉向社會建構的視角，理解被認為是“通過社會性的相互依賴而獲得的”、“對意義的理解依賴于情境脈絡”[vii]。近來，學習理論逐漸發展到情境認知理論（包含心理學視角和人類學視角），對理解的認識必然也將會繼續拓展與深入（后有詳述）。另一方面，對于數學理解的研究，始終都有一種相對獨立性的特點，這又可顯示該課題研究所獨具的意義與價值。比如，數學教育家芬尼曼、榮伯格、薩克斯、塞平斯卡、希伯特等都分別從課堂教學、文化與認知發展、認知障礙與發展、教學設計等角度以專著形式發表了對數學理解的獨特見解，在體現該課題研究相對獨立性的同時，這些研究都展現了當今數學教育對該課題的前沿成果。

從個體發展的角度看，數學理解的意義更是清晰可見。首先，知識的理解有助于完善個體大腦內部的知識結構網絡，從而推動記憶，進而又更易于同化與理解新知識、新信息，這是一個良性學習過程。“理解不僅僅是把新知識與先前的舊有知識產生聯系，而是創建了一個豐富的、整合的知識結構，……，當知識被高度結構化的時候，新的知識就能被連接、并被融合進已有的知識網絡中，而不是只產生元素之間的單個連接，……高度結構化的知識不易被遺忘，它有著多重途徑被找回，而孤立的知識片段更難于被記憶。”[viii]其次，知識只有被深刻理解了，才具有遷移與應用的活性，這種遷移能力對個體未來發展是十分重要的。沃特海梅爾曾做過這樣的研究[ix]，讓兩組學生對平行四邊行面積公式分別展開理解法學習和死記法學習。前者學生通過三角形割補關系理解了平行四邊形可以重新組合成長方形，所以他們很容易內化平行四邊形面積公式的內在意義以及平行四邊形本身的結構關系。后者學生則要求死記平行四邊形面積公式。在隨后的遷移測試中，在一些解決平行四邊形面積的典型問題上，兩者都表現出色。但對一些非常規問題（如豎置的平行四邊形、帶有不規則割補的平行四邊形），前者表現出色，而后者卻無能為力。所以，遷移與應用受理解性學習程度的影響，而非僅靠記憶事實和墨守成規。

從社會需求的角度看，信息化社會和知識經濟社會所需要的是那種能不斷學習新知識、新技能，能應用自己的已有知識去解決新問題的創新人才。從這個意義上說，僅靠機械記憶的知識很可能走出校門就毫無用處，而具有穩定性與恒常性的數學素養與數學理解則顯得格外重要。數學教育家卡平特和利熱更是明確指出：“為了培養面向21世紀的具有數學素養的公民，課堂需要被重新構建，以致于數學能被理解地學習。”

二、數學理解的認知建構觀

建構主義作為與認知主義一脈相承的學習理論，對于理解與數學理解的關注與認識在思想深處有著諸多的相似或共通之處。近年來，很多學者都試圖借助于認知建構的觀點去發展對數學理解的認識。總體說來，數學理解的認知建構觀的核心思想主要體現在如下幾個方面：

第一，數學理解的本質是數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系。建構主義學習觀一再強調[x]：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的。”而希伯特教授則用信息的內部表示和構成方式來描述理解[xi]，“我們認為一個數學的概念、方法或事實是理解了，是指它成了內部網絡的一個部分。更確切地說，數學是理解了，是指它的智力表示成了表示網絡的一個部分。理解的程度是由聯系的數目和強度來確定的。”

第二，數學理解的特征是生成性和發展性的。表現在如下幾個方面。首先，理解不是一種或有或無的現象，實際上所有復雜的數學概念、數學命題都可以在一定層面上、以完全不同的方式被理解。其次，知識的高度結構化、網絡化有助于理解更具生成性。因為，此時新信息更易被連接或納入到已有的知識網絡中，從而使得已有的理解不斷拓展、深化。再次，當在不同的問題情境中靈活而反復地運用同一知識時，與這一知識相關的各種聯結將更加豐富、更加牢固，從而個體的理解也獲得進一步發展。

第三，數學理解的形成機制是重新組織。實際上，這是從更為微觀的角度探討數學理解的生成性和發展性。當現存的網絡聯上新的信息或者在以前沒有聯系的信息之間建立起新的關系時，智力網絡必然要發生變化，這種變化就是重新組織。希伯特教授曾著重指出，這一組織過程并非一帆風順，有可能是一個更為紊亂的過程，有時候表現成暫時的倒退，有時候也是進步。最終，隨著重新組織產生更豐富、更具強有力聯系的、更有凝聚力的網絡，理解就增長了。

第四，數學理解的形成條件是自主活動。數學理解的形成必須要以學生的自主活動為基礎，“活動是個人體驗的源泉，是語言表征、情節表征、動作表征的源泉”[xii]。活動既包含外部操作性活動，也包括內在思維性活動。在個體數學理解的形成過程中，借助于積極的智力參與，主動積極的外部活動過程逐步內化為主體內部的心理活動過程，并從中產生出主體的個人體驗，一種基于個體自身的數學理解得以初步形成。

三、數學理解的情境文化觀

學習理論在90年代后期從強調個體思維者和其孤立心智的認知建構理論轉向強調認知和意義的社會性本質，并進而轉向情境理論，這一轉向更加豐富了對數學理解的認識。而文化作為一種特殊的宏情境，既對學習者的數學理解產生潛在而深刻的影響，但同時也需要學習者通過真實實踐中的活動和社會性互動來促進學習者的文化適應[xiii]。

情境觀的核心要點是[xiv]：“實踐不是獨立于學習的，而意義也不是與實踐和情境脈絡相分離的，意義正是在實踐和情境脈絡中加以協商的。”從這一意義上說，數學的概念、定理、法則的學習必須既是情境性的，又是通過學習者的真實活動和運用而得以不斷發展的。這里的“情境”、“真實”或許由于數學知識的反復的、螺旋上升的抽象過程而并不顯得那么直觀、生活化，但這并不妨礙學習者在情境中通過理解和經驗的不斷相互作用，進行數學知識與概念的意義協商。也就是說，數學概念、法則的意義是依托于一定的情境的，在該特定情境中獲得的數學概念、法則要比所謂的一般性數學概念、法則更有力、更有用、更具理解力，在這樣的情境中所進行的數學活動與學習，除了了解了某些確定的數學規則外，更重要的是了解了使用這些數學規則的場合和條件。從更高的意義上說，這種數學規則的場合和條件源于數學共同體的活動情境，源于共同體逐漸積累的獨特的洞察力以及共同體的文化。因此，學生的數學學習與數學理解的最終目的，應是對數學知識賴以萌發和應用的共同體文化的適應。如果站在這一高度，我們就可以對現今中學乃至大學的數學微積分教學做出較為深刻的分析與批判。應當說，只教授微積分運算規則而脫離其產生的深遠背景，剝奪學生參與真實活動與理解生活實際的機會，那么留給學生的只能是惰性的、處于消極狀態的知識。這直接造成學生只會解那些書本上正規的、良構性的求極限、求導之類的簡單近遷移問題，而對那些需要用到無窮小思想的其他非良構的新情境中的遠遷移問題卻無從下手，也不能運用極限思想、導數思想去理解其他數學問題的解決方法，比如圓面積公式推導中的極限思想，甚至于對生活中常說的“人口增長極限、極限運動、生理極限”等中的“極限”一詞既缺乏思維的敏感性，也缺乏對其的本質意義（或數學化意義）的把握。其實，此時學生的思維中并沒有建立起對“究竟什么是微積分？它是如何得來的？它有什么用處？”等一些情境化指向非常強的問題的深刻理解。實際上，微積分的產生既有數學內部的動力（萊布尼茨解決曲線的切線問題），也有數學的外部動力（牛頓解決勻加速運動的瞬時速度問題），而且，這些問題都蘊涵了為后來的數學帶來無限活力的一種全新的思想方法——無窮小分析法，如果在教學中能把整個思想發展的來龍去脈（特定的情境）講清楚，同時用一些更親近學生直觀的活動與學習方式（以課件展示各種極限形態、讓學生感受非常具有樸素意味的四大悖論、多用非數學化語言描述極限性態等）去激發與調動學生的思維，而不是只用（或一上來就用） 定義去迫使學生獲得一種高度形式化的理解，那么，學生頭腦中的對微積分的認識與感受自然會更豐富、更具包容性和生長力。并且，筆者認為，更為重要的是，學生在獲得對于微積分概念的境脈化的深刻理解的同時，還獲得了一種對數學文化的適應、逼近、認同與感悟，而后者對于學生數學信念的形成與能力的發展，是非常重要的。

四、數學理解的教學設計觀

“獲得隱喻”的信條多年來一直統領著整個數學教育實踐，它的核心思想是：“數學知識是由符號化的心理表征組成的，數學認知活動是由這些表征中的符號操作組成，……”，從這一意義上說，達到對數學知識的理解就是要獲得預先設定的符號表征系統，相應的，數學教學就是要發現促進這種獲得的最有效手段[xv]。雷斯尼克（Resnick）指出，“學習不是靠獲得，而應該是參與，參與實踐、參與對話、參與活動”，所以，這種強調學習的合作性、情境化的學習隱喻顯然對“理解的獲得”這一簡單化認識做出了深刻的批判。這一觀念上的轉變要求數學教學設計這一新興研究與實踐領域必須對如下理念做出格外關注：

l        數學教學不能僅僅只教授機械的算法和規則，同樣要給予學生機會去應用這些算法和規則，要為學生創設一個獨立識別問題、提出問題和解決真實問題的數學學習環境,從而在知和行的交互中達到對算法和規則的理解。

l        在數學學習活動中，構建學習共同體和實踐共同體，讓學生在參與與教師、與專家、與家長、與其他學生等的對話與互動中，達到對數學知識的社會協作性建構。

l        要為數學中的知識（主要是技能應用性知識）創設逼真的、問題豐富的環境，讓數學學習拋錨在一種反映知識在真實生活中運用的境域之中。

l        對抽象程度較高的數學知識，也要為學生提供相對直觀與現實（并非絕對）的問題境脈。

l        數學教師具有多元化的角色定位，不僅作為內容上的專家，而且也是學習和問題解決的專家，但這種專家性角色在協商活動中是參與性的而非指示性的，在適宜的時候，教師要為學生搭建認知腳手架。

l        教師是而且必須是教學的設計者，而非教學設計的忠實執行者。

l        數學學習活動中的反思非常重要，它使個體有機會來思考他們在做些什么、為什么這么做。作為一個積極的、嚴格的和分析的過程，反思過程對數學學習的質量是很關鍵的[xvi]。

l        學生必須被賦予對于數學問題情境的探究的所有權，要讓他們感到這個數學問題值得自己去努力，而且必須把自己的努力看作是能夠產生變化的解決方法（而不是學校式的方法），學生必須感到對解決方法負有責任。教師不能直接告知方法，或引誘學生得出教師想要的方法，那樣學生并沒有真正進入數學的脈絡化思維與理解之中。

在此，筆者抽取出促進理解的數學教學模式設計中的核心要素（見圖1），限于篇幅，就不展開詳細論析了。

五、數學理解的評價觀

如何評價學習者的理解，這歷來是數學教育實踐界與理論界十分關注的問題。理解一個數學領域（domain）中的各種概念不是僅積累了一整套的事實和程序，而是在已存的數學知識間建立新的聯系，以及新信息被連接或整合到已存知識之中。理解是具有發展性、生成性和階段無序性的，所以評價就不能僅僅局限于強調在教學中檢測學習者是否獲得了數學事實和程序，而應關注于學習者正在形成的數學觀念之間新的聯系，關注在新的情境中對已存知識的運用，關注在解決問題中所應用的推理層次。對于數學理解的評價首先應當確立以下三個假設：1、評價應當被視做作一個不間斷的過程，這一過程應被整合進教學過程之中；2、對于學生知識理解的發展的評價應來自于多重的證據來源；3、評價應當既包含對源于課堂交互的信息的精細實錄，也應包含書面作品。

        圖1：一種數學理解性教學模式的設計要素

在實踐層面上，對于數學理解的評價應當著重強調以下三個方面：

首先，既運用非正規評價（informal assessment），也運用正規評價（formal assessment）。非正規評價包括：對學生活動與行為的觀察，以了解學生對數學概念的理解、思維過程和問題解決策略；課堂討論，以使教師收集學生推理的信息。總之，通過這種非正規評價而獲得的信息能改善教學決策。正規評價應該按照如下理念進行設計，即，讓學生展示他們知道的和會做的，而不是去確認他們不知道什么。正規評價主要包含兩種：單元末評價（end-of-unit assessment）和年級末評價（end-of-grade assessment）。單元末評價要求學生面對問題情境選擇適當的數學工具，這些問題情境所依托的境脈不同于教學單元中所提出的境脈。同時，這種評價能為教師提供機會去檢測和監控學生在不同境脈中運用同一概念知識的靈活性。此外，由于單元末評價不要求學生之間、師生之間的交互，所以，它也為學生提供了以書面形式解釋和展示他們自身的解決方法和思維過程的機會。年級末評價則提供了一些證據，以證明學生對一些課程中的更加重要的領域（domain）的理解深度。從根本上說，這種評價不單單牽涉到對某個單一領域思維的評價，而且也在評價學生是否能把數學變成他們自己的東西。

其次，由于理解的形成需要較長時間，所以評價要反映理解的持續發展過程。評價需要關注在特定時刻學生所構建的關系，關注這些關系在時間推移中的變化，關注在處理新情境中對領域中的知識的資源化運用，關注學生所運用的推理復雜性。

最后，要特別強調并關注推理的層次（levels of reasoning）。隨著理解的發展，學生會以更加有力的方式使用概念和程序，所以評價要關注學生在使用概念和程序過程中運用的推理層次，由低級到高級主要包含：復制(reproduction)；聯系（connection）；分析（analysis）。復制主要包括回憶事實和定義，以及有效運用一些標準化程序，如完成特定的計算、解一個方程或繪制圖表。聯系主要包括領域內以及跨領域的聯系、信息的整合，以及對解決非常規問題所需要的適當數學工具的決策。分析是一種復雜層次的數學思維，包括解釋、剖析和數學論證；包括學生自我模型和策略的形成；也包括歸納概括。

近年來，美國數學教育界試圖從課程設計與實施的角度反思傳統學校數學教育并對理解什么樣的數學做更新的詮釋。全美數學教師協會（NCTM）[xvii]指出，要把理解數學的應用作為核心關注點，所有年級層次的學生都應把數學理解為完全整合的探究領域，旨在幫助他們解決問題、交流、推理和創設連接。美國數學科學教育局（MSEB）在一份名為《站在巨人的肩膀上》的報告[xviii]中所闡發的觀點更富創新與改革意味：“人類運用數學語言所做的就是描述模式。數學是一門探索性科學，它尋求對各種模式的理解，這包括自然界的模式、人類思想創造的模式、由其他模式創造的模式。為了使孩子們在數學上成長起來，必須向他們展示豐富的大量的適合他們自己生活的模式，通過這些模式，他們能看到多樣、規則和相互聯系。”他們進而歸納了五種模式，并認為是具有根本性和普遍意義的，即：維數、數量、不確定性、形狀和變化。筆者相信，這份報告所展示的各種非常有見地的思想觀點，在提供對數學本身的重新解讀之外，或許影射了面向21世紀的數學課程的發展指向。