初中數學，不管是平時的檢測試卷，期中期末試卷，還是中考數學試卷，幾何最值問題，從來都是常見考題型，是一個重點與難點。
今天，方老師和大家一起，分享這份《最短路徑問題，將軍飲馬模型，4種?？碱}型，25題專練突破》。大家可以收藏起來，打印下來，認真地做一做。
第一種題型，兩個定點，一個動點，這個也是將軍飲馬的故事母題，經典求PA+PB最小值。主要解決方法，就是做其中一個點關于河的對稱點。
這個題型，這里選了10個課堂練習題，大多數都是中考數學的真題，希望同學們扎實練習，徹底弄懂解題原理，不僅要知其然，還要知其所以然。
第二種題型，就是在一個角的內部有一個固定的點，在角的兩邊各有一個動點，求三角形周長的最小值。
那么這一類題型，怎么辦呢？主要解決方法，就是往兩邊翻折，一樣也是做軸對稱。
第三種題型，就是兩個定點，兩個動點的題型。如圖所示，怎么求PN+NM+PQ的最小值？主要解決方法，依然還是往兩邊翻折。
第四種題型，就是在角內部，有一個固定點，角兩邊各有一個動點，如圖所示，求PN+MN的最小值。解決方法，翻折，三點共線且垂直時，滿足最小值。
這4種將軍飲馬最值模型的?？碱}型，現在都已經講完了。再選6道題，供大家小試牛刀，同步鞏固。
又把這六道題做完，你是不是覺得，這題簡直小菜一碟？如果大家覺得簡單，那方老師的目的也就達到了。如果大家覺得，這題好難啊，那才有點尷尬呢。
下面是這25題的參考答案。
