§7.3 空間點、直線、平面之間的位置關系
考試要求
1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．
知識梳理
1．基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
2．“三個”推論
推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
3．空間中直線與直線的位置關系
4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
圖形語言
符號語言
公共點
直線與平面
相交
a∩α＝A
1個
平行
a∥α
0個
在平面內
a?α
無數個
平面與平面
平行
α∥β
0個
相交
α∩β＝l
無數個
5.等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
6．異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：.
常用結論
1．過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．
2．分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．( × )
(2)直線與平面的位置關系有平行、垂直兩種．( × )
(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．( × )
(4)兩兩相交的三條直線共面．( × )
教材改編題
1．(多選)如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列說法正確的是( )
A．BM與ED平行
B．CN與BM成60°角
C．CN與BE是異面直線
D．DM與BN是異面直線
答案 BD
解析 正方體的直觀圖如圖所示．
很顯然，BM與ED不平行，故A錯誤；
連接AN，AC，易知△ACN是等邊三角形，CN與BM所成角即為∠ANC＝60°，故B正確；
連接BE，易知CN∥BE，故C錯誤；
連接BN，DM，易知DM與BN是異面直線，故D正確．
2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b( )
A．一定是異面直線
B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線
D．不可能是相交直線
答案 C
解析 由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．
3. 如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則
(1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；
(2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)由題意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
題型一 基本事實的應用
例1 已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求證：(1)D，B，F，E四點共面；
(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；
(3)DE，BF，CC1三線交于一點．
證明 (1)如圖所示，連接B1D1.
因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F，E四點共面．
(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設A1，C，C1確定的平面為α，又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．
(3)因為EF∥BD且EF＜BD，所以DE與BF相交，設交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三線交于一點．
思維升華 共面、共線、共點問題的證明
(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內．
(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
跟蹤訓練1 (1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經過( )
A．點A
B．點B
C．點C但不過點M
D．點C和點M
答案 D
解析 因為AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.
根據基本事實3可知，M在γ與β的交線上．
同理可知，點C也在γ與β的交線上．
所以γ與β的交線必經過點C和點M.
(2)如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分別為FA，FD的中點．
①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
②C，D，F，E四點是否共面？為什么？
①證明 由題設知，因為G，H分別為FA，FD的中點，所以GH∥AD且GH＝AD，
又BC∥AD且BC＝AD，
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四邊形BCHG是平行四邊形．
②解 C，D，F，E四點共面．理由如下：
由BE∥AF且BE＝AF，G是FA的中點知BE∥GF且BE＝GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH.
故EC，FH共面．又點D在直線FH上，
所以C，D，F，E四點共面．
題型二 空間位置關系的判斷
命題點1 空間位置關系的判斷
例2 (1)(多選)下列推斷中，正確的是( )
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合
答案 ABD
解析 對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，A正確；
對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，B正確；
對于C，若l∩α＝A，則有l?α，A∈l，但A∈α，
C錯誤；
對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D正確．
(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是( )
A．異面或平行 B．異面或相交
C．異面 D．相交、平行或異面
答案 D
解析 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，
①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，
此時a和c相交；
②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，
此時a和c平行；
③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，
此時a和c異面．
命題點2 異面直線所成的角
例3 (1)如圖所示，圓柱O1O2的底面半徑為1，高為2，AB是一條母線，BD是圓O1的直徑，C是上底面圓周上一點，∠CBD＝30°，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 連接AO2，設AO2的延長線交下底面圓周上的點為E，連接CE，易知∠CAE(或其補角)即為異面直線AC與BD所成的角，連接CD(圖略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝，CD＝1.又AB＝DE＝AE＝BD＝2，AC＝＝，CE＝＝，所以在△CAE中，cos∠CAE＝＝＝，即異面直線AC與BD所成角的余弦值為.
(2)(2023·長治模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E為BB1上一點，平面AEC1將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則AE與B1C1所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如圖，作C1H⊥A1B1于點H，
則C1H⊥平面ABB1A1且C1H＝，
設B1E＝x，
則
＝
·C1H＝··(2＋x)·2·＝(2＋x)，
易得AC⊥平面BB1C1C，
則
＝·
·AC＝··(2－x＋2)·2·2＝(4－x)，
平面AEC1將三棱柱分為兩個體積相等的四棱錐C1－A1AEB1和A－BCC1E，
即
＝
，
則x＝1，所以E為BB1的中點，
取CC1中點為F，連接EF，
則EF∥B1C1，∠AEF(或其補角)即為異面直線AE與B1C1所成角，
cos∠AEF＝＝.
所以異面直線AE與B1C1所成角的余弦值為.
思維升華 (1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．
(2)求異面直線所成角的方法
方法
解讀
平移法
將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線， 形成三角形求解
補形法
在該幾何體的某側補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解
跟蹤訓練2 (1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個選項正確的是( )
A．直線AM與CC1是相交直線
B．直線AM與BN是平行直線
C．直線BN與MB1是異面直線
D．直線AM與DD1是異面直線
答案 CD
解析 因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內，直線CC1在平面CDD1C1內，CC1不過點M，所以直線AM與CC1是異面直線，故A錯；取DD1的中點E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，故B錯；因為點B1與直線BN都在平面BCC1B1內，點M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確．
(2)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角．
∵SE＝SB，∴SE＝BE.
又OB＝3，∴OF＝OB＝1.
∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3.
∵SO⊥OF，∴SF＝＝.
∵OC⊥OF，∴CF＝.
∴在等腰△SCF中，
tan∠CSF＝＝.
即異面直線SC與OE所成角的正切值為.
(3)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如圖所示，過點A補作一個與正方體ABCD－A1B1C1D1相同棱長的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1.∵△AF1E為正三角形，∴sin∠EAF1＝sin60°＝.
題型三 空間幾何體的切割(截面)問題
例4 (1)(多選)用一個平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則下列結論正確的是( )
A．這兩部分的表面積一定不相等
B．截面不會是三角形
C．截面不會是五邊形
D．截面可以是正六邊形
答案 BCD
解析 如圖，一個平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則平面α一定過正方體的中心，所以這兩部分的表面積相等，根據對稱性，截面不會是三角形、五邊形，但可以是正六邊形(如圖)．
(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為________．
答案
解析 如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點．在側面BCC1B1內任取一點P，使MP＝，連接D1P，則D1P＝＝＝，連接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M為圓心，為半徑的圓弧GH為球面與側面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以
的長為×2π×＝.
思維升華 (1)作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線．
跟蹤訓練3 (1)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和C1C上(異于端點)，則過三點A，F，E的平面被正方體截得的圖形(截面)可能是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
答案 ABD
解析 當BE＝CF時，截面是矩形；當2BE＝CF時，截面是菱形；
當BE>CF時，截面是梯形；截面不可能是正方形．
(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．
答案
解析 如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，
由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，
故BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
設等腰梯形MNDB的高為h，
則h＝＝，
∴梯形MNDB的面積為
×(＋2)×＝.
課時精練
1．若直線上有兩個點在平面外，則( )
A．直線上至少有一個點在平面內
B．直線上有無窮多個點在平面內
C．直線上所有點都在平面外
D．直線上至多有一個點在平面內
答案 D
解析 根據題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內．
2．(多選)下列命題中不正確的是( )
A．空間四點共面，則其中必有三點共線
B．空間四點不共面，則其中任意三點不共線
C．空間四點中有三點共線，則此四點不共面
D．空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面
答案 ACD
解析 對于平面四邊形來說不成立，故A不正確；若四點中有三點共線，則根據“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故B正確；由B的分析可知C不正確；平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故D不正確．
3．已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關系( )
A．兩兩垂直 B．兩兩平行
C．兩兩相交 D．兩兩異面
答案 B
解析 如圖1，可得a，b，c可能兩兩垂直；
如圖2，可得a，b，c可能兩兩相交；
如圖3，可得a，b，c可能兩兩異面．
4．在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是
的中點，F是AB的中點，則( )
A．AE＝CF，AC與EF是共面直線
B．AE≠CF，AC與EF是共面直線
C．AE＝CF，AC與EF是異面直線
D．AE≠CF，AC與EF是異面直線
答案 D
解析 如圖，由題意知，圓柱的軸截面ABCD為邊長為2的正方形，E是
的中點，F是AB的中點，
AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無交點，
所以AC與EF是異面直線，故A，B錯誤；
又CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF，故C錯誤．
5.如圖，已知四面體ABCD 的各條棱長均等于4，E，F 分別是棱AD，BC 的中點．若用一個與直線EF 垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α 去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為( )
A．3 B．4
C．4 D．6
答案 B
解析 將正四面體補成正方體如圖所示，
可得EF⊥ 平面CHBG，且正方體的棱長為2.
由于EF⊥ 平面α，且平面α 與四面體的每一個面都相交，
故截面為平行四邊形MNKL，且KL＋KN＝4，
又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，
∴KN⊥KL，
∴平行四邊形MNKL 為矩形，
∴S矩形MNKL＝KN·KL≤2＝4，
當且僅當KN＝KL＝2時取等號．
6．(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
方法二 以B1為坐標原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，＝(－1，－1,2)，＝(2,0，－2)．設直線PB與AD1所成的角為θ，則cos θ＝＝＝.因為θ∈，所以θ＝.
方法三 如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角．根據P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝，又P為A1C1的中點，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝.
7.(2023·廣州模擬)如圖為四棱錐A－DEFG的側面展開圖(點G1，G2重合為點G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是線段DF的中點，請寫出四棱錐A－DEFG中一對一定相互垂直的異面直線________．(填上你認為正確的一個結論即可，不必考慮所有可能的情形)
答案 AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)
解析 還原該四棱錐的直觀圖如圖所示，連接DF和GE，相交于點O，連接AO，
∵DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE，∴△GDE≌△GFE，∴∠DGO＝∠FGO，
又∵DG＝FG，GO＝GO，
∴△DGO≌△FGO，
∴DO＝OF，∠GOD＝∠GOF＝，∴DF⊥OE，
∵AD＝AF，OD＝OF，∴AO⊥DF，
∵AO∩OE＝O，AO，OE?平面AOE，
∴DF⊥平面AOE，又AE?平面AOE，∴DF⊥AE.
8. 如圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直．則這兩個四棱柱的表面相交的交線段總長度為________．
答案 8
解析 由題可知，這兩個四棱柱的表面相交的交線段由8條長度相等的線段構成，
如圖所示，選取一個側面進行分析，其中AC，AB均為交線段，且AC＝AB，BC為底面的對角線長，D為BC的中點，
∴AD＝2，CD＝BC＝×2＝，
∴AC＝＝＝，
∴所求的交線段總長度為8×＝8.
9. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．
證明 (1)因為E，F分別為AB，AD的中點，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四點共面．
(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三點共線．
10. 如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱錐P－ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
解 (1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱錐P－ABC的體積V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，
則ED∥BC，
所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.
11．(多選)(2023·朝陽模擬)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，則( )
A．AB⊥CD
B．三棱錐A－BCD的體積為
C．三棱錐A－BCD外接球半徑為
D．異面直線AD與BC所成角的余弦值為
答案 ABD
解析 將三棱錐補形為長方體，如圖所示．
其中BE＝BN＝1，BF＝2，
所以AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，
連接MF，
則AM∥BF，AM＝BF，
所以四邊形AMFB為平行四邊形，
所以AB∥MF，
又四邊形MCFD為正方形，
所以MF⊥CD，
所以AB⊥CD，故A正確；
長方體的體積V1＝1×1×2＝2，
三棱錐E－ABC的體積V2＝V三棱錐A－BEC＝××1×2×1＝，
同理，三棱錐N－ABD，三棱錐F－BCD，三棱錐M－ACD的體積也為，
所以三棱錐A－BCD的體積V＝2－4×＝，故B正確；
長方體的外接球的直徑為＝，
所以長方體的外接球的半徑為，
長方體的外接球也是三棱錐A－BCD的外接球，
所以三棱錐A－BCD外接球的半徑為，故C錯誤；
連接MN，交AD于點O，
因為MN∥BC，
所以∠AOM(或其補角)為異面直線AD與BC所成的角，
由已知OA＝AD＝，
OM＝MN＝，AM＝2，
所以cos∠AOM＝＝－，
所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為，故D正確．
12. 如圖，E，F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中點，若AB＝6，則過A，E，F三點的截面的面積為( )
A．9
B．18
C.
D.
答案 C
解析 連接EF，作直線EF分別與直線DC，DD1的延長線相交于點P，Q，
連接AP交BC于點M，連接AQ交A1D1于點N，連接NF，ME.
則五邊形AMEFN即為過A，E，F三點的截面，如圖所示．
由題意知AP＝AQ＝3，PQ＝9，
∴S△APQ＝，
又ME∥AQ，且＝，
∴S△MPE＝S△QNF＝S△APQ，
∴S五邊形AMEFN＝S△APQ＝.
13．(2022·南陽模擬)如圖，AB和CD是異面直線，AB＝CD＝3，E，F分別為線段AD，BC上的點，且＝＝，EF＝，則AB與CD所成角的大小為________．
答案 60°
解析 在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點G，連接GF，如圖，
∵＝，∴＝，
又＝，∴＝，
則GF∥CD，
∴∠EGF(或其補角)即為AB與CD所成角，
在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，EF＝，
∴cos∠EGF＝＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB與CD所成角的大小為60°.
14．已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2，AC＝2，BC＝4，則：
(1)球O的表面積為________；
(2)若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是________．
答案 (1)52π (2)4π
解析 (1)由題意，根據勾股定理可得AC⊥AB，則可將三棱錐P－ABC放入以AP，AC，AB為長方體的長，寬，高的長方體中，則體對角線為外接球直徑，設外接球半徑為r，即2r＝＝2，則r＝，所以球O的表面積為4πr2＝4π×()2＝52π.
(2)由題意，得△ABC為直角三角形，所以D為底面ABC的外接圓圓心，當DO⊥截面時，截面面積最小，即截面為平面ABC的外接圓，半徑為2，故截面面積的最小值為π×22＝4π.
15．(2023·重慶模擬)如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長為2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，過AB，BB1的中點E，F作平面α與平面AA1C1C垂直，則平面α與該直三棱柱所得截面的周長為 ________.
答案 3＋
解析 如圖所示，取AC的中點D，連接BD，取A1C1的中點D1，連接B1D1，取AD的中點G，連接EG，連接EF，
分別取C1D1，B1C1的中點M，N，連接MN，FN，GM，
可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，
又由AB＝BC，
可得BD⊥AC，
因為AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C，
所以BD⊥平面AA1C1C，
可得EG⊥平面AA1C1C，
由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，
則平面EGMNF即為平面α，
由EG＝BD＝，GM＝＝，MN＝B1D1＝，NF＝＝，FE＝＝，
則所得截面的周長為×2＋＋×2＝3＋.
16. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點E是PB的中點．
(1)線段PA上是否存在一點G，使得點D，C，E，G共面？若存在，請證明，若不存在，請說明理由；
(2)若PC＝2，求三棱錐P－ACE的體積．
解 (1)存在．當G為PA的中點時滿足條件．
如圖，連接GE，GD，則GE是△PAB的中位線，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，
所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四點共面．
(2)因為E是PB的中點，
所以VP－ACE＝VB－ACE＝VP－ACB.
因為AD⊥DC，AB∥DC，
所以AC＝，CB＝，
故由題易知AC⊥BC，
所以S△ABC＝AC·BC＝××＝1，
VP－ACB＝PC·S△ABC＝，
所以VP－ACE＝.
