【專題名稱】初中數學教與學【專 題 號】G352【復印期號】2011年03期【原文出處】《中國數學教育：初中版》(沈陽)2010年9期第38～40頁【作者簡介】張海華，山東省文登市教育教學研究培訓中心；
于清玲，山東省文登市宋村中心校。【關 鍵 詞】EEUU
一、試題概述
所謂新概念試題是指即時定義新概念、新公式、新運算、新法則，這些都是學生從未接觸過的，要求學生在解題時能夠運用已掌握的知識和方法理解“新定義”，做到“化生為熟”，現學現用，其目的是考查學生的閱讀理解能力、接受能力、應變能力和創新能力，培養學生自主學習、主動探究的數學品質，在一定程度上促進教學方法和學習方式的轉變。
新概念試題是歷年各地中考數學試題中的一朵奇葩，以其清雅、新穎的風格彰顯出新課標中“由知識立意向能力立意”過渡的要求，是學生“可持續發展”理念的具體體現，同時也警示我們的初中數學教學必須改變過去單一的教法和學法，重視學生的數學閱讀能力、數學遷移能力，以及運用數學方法解決實際問題能力的培養，重視知識過程的學習，在培養學生創新意識和應用能力上要有進一步的突破。
縱觀近幾年全國各地中考數學試題，新概念試題通常占試題總數的8%左右，而學生解答這類試題的正確率卻并不理想。另外，此類試題重視數學學習潛能的綜合考查，且命題中常引入初中數學教學中未曾見過的新概念，而這些新概念往往有著高中數學的背景，因此對綜合考查學生進一步深造的潛能有著不可低估的作用。同時，由于中考命題隊伍中高中教師所占的比例正逐年增加，這就為高中數學的思想和方法經過改造后進入中考數學試卷，創新中考數學命題開辟了一條新路。基于這些原因，對新概念試題進行深層次、多方位的研究，并在畢業復習中對學生有意加強這方面的訓練，就顯得尤為重要。
二、試題例析
新概念試題要求學生對給定的內容進行分析、研究、開發，然后加以運用。解決這類問題的關鍵是讀懂題意，確定探索方向，然后運用歸納與類比的方法尋找合理的解題思路。簡而言之，學生必須具備“給什么，用什么，怎么用”的能力。
例1 （2009年山東·德州卷）“上升數”是一個數中右邊數字比左邊數字大的自然數（如，34, 568, 2469等）。任取一個兩位數，是“上升數”的概率是＿＿。
分析：這是一道邊緣性新概念試題。“上升數”是一種全新的、特殊的概念，要求學生在全面、準確地理解這種新概念含義的基礎上，運用這種特殊概念去創造性地思考并解決問題。
解：最小的兩位數是10，最大的兩位數是99，一共有90個數。而在10～19中，“上升數”有8個；在20～29中，“上升數”有7個；在30～39中，“上升數”有6個；…；在90～99中，“上升數”有0個因此在10～99中“上升數”有8+7+6+5+4+3+2+1=36個，所以任取一個兩位數，是“上升數”的概率為
。
【點評】此題以新概念為背景考查概率，不同于以往中考單純考查概率的
知識點，使試題得到巧妙的創新，不但考查了學生分析問題的能力，同時也考查了學生的創新能力和解決實際問題的能力，應引起我們的重視。
分（ ）。
分析：此題取材于高中選修內容——行列式。命題者將其設計成一道新概念中考試題，立意“能力”，著眼發展，既能考查學生對新知識的理解、接受能力，又能考查學生適應新問題，運用新知識解決問題的能力，從而有利于學生在建構新知識的過程中養成探究的習慣，提高自主學習的能力，發掘進一步學習數學的潛能。
故選A。
【點評】這種運算法則型的新概念命題，要求學生在深刻理解新運算法則的基礎上，能夠積極推理、模仿演練，這是解決此類試題的關鍵。
例3 （2009年浙江·衢州卷）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD，但AD≠CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”。小明說：“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半。”他的說法正確嗎？試判斷，并加以說明。
圖1
分析：對某些滿足一定條件的幾何圖形給以特定的名詞，是幾何圖形類型的新概念命題。這類問題要求學生能夠靈活運用已掌握的幾何知識，解決題中設置的新問題。此題就是讓學生以現有的知識水平，應用現有的數學思想方法，在一個全新的情境中思考問題，探求問題的最終答案，進一步培養學生思考問題和解決問題的能力。
解：題中小明的說法是正確的，證明過程如下。
證明：因為AB=AD,BC=DC,AC=AC,
所以△ABC≌△ADC。
所以∠BAC=∠DAC。
因為AB=AD,AO=AO，
所以△AOB≌AOD。
【點評】菱形是
初中幾何中的一種重要的四邊形，是歷年中考的必考內容之一。此題沒有像以往那樣局限于對菱形的相關性質和定理的考查，而是將其進行引申和拓展，需要學生閱讀理解題中提供的信息，聯系所學知識，運用聯想、類比、模仿、遷移等方法，實現信息的遷移，從而使問題得以解決。
三、復習對策
新概念試題實質上是原有認知結構與新知識之間的遷移。學生能否正確解答這類試題，是檢驗我們在數學教學中是否培養了學生的能力，發展了學生的智力的一個重要標志。此類試題思維含量豐富，可以考查學生獨立獲取知識的能力，以及知識遷移的能力。由于學生在閱讀試題的過程中，理解程度、思維水平、合情推理能力各不相同，因此可以體現區分度，這為具有選拔功能的中考提供了一種行之有效的工具，所以新概念試題越來越受到全國各地中考命題者的青睞。
為培養學生解決此類問題的能力，現對近幾年各地中考中出現的新概念試題進行了深入、細致的研究，并與同仁做了一些交流與探討。筆者認為，在畢業班的復習教學中，應該對學生加強以下幾方面能力的培養，實踐證明對學生在中考中成功解決此類問題頗有成效。
1.加強對學生數學閱讀理解能力的培養
數學語言是數學知識的載體，是中考必考的最基本的數學能力之一，也是學生讀不懂數學試題，形成解題思維障礙的第一道關卡。由于新概念試題都是通過數學語言向學生傳遞未知的信息，所以數學閱讀理解能力的培養是成功解決新概念試題的關鍵。
在數學復習中，要讓學生明白數學閱讀是一種十分精確的閱讀，是與閱讀文學作品及一般性的文字材料不同的閱讀，要一字一句地讀，不能一目十行掃描式的閱讀。同時，數學閱讀的過程也是相關知識再現的過程，是一種思考性的閱讀，要在讀中去想，想中去讀。另外，高水平的數學閱讀還是一個數學知識聯想的過程。從某種意義上來說，數學分析能力的實質是建立在閱讀理解基礎上的再現與聯想的能力。聯想是數學的翅膀，有聯想的閱讀才是深入的閱讀、高水平的閱讀。
例如，在復習“三線八角”時，為了培養學生的數學閱讀理解能力，筆者設置了下面這道習題，并在學生認真閱讀理解的基礎上引導其進行聯想：
已知，如圖2，AB∥CD, BE、CF分別是∠ABC和∠BCD的平分線，那么線段BE、CF的位置關系如何？試說明理由。
圖2
閱讀聯想1：由AB∥CD，聯想到什么？
①內錯角相等；②同位角相等；③同旁內角互補。
思考：你認為上述3個結論中，哪個結論更適用于研究此題的位置關系，確定的依據是什么？
結合圖形進行二次閱讀：觀察角的位置特點，確定解題思路。
閱讀聯想2：由BE、CF分別是∠ABC和∠BCD的平分線，聯想到什么？
在復習中，還可以精選一些近幾年中考中出現的閱讀理解應用題和圖表信息題，對學生進行反復訓練。在訓練中培養他們的閱讀能力、思考能力和聯想能力，最終要讓學生清楚地認識到：只有閱讀到位，解新概念試題才有保障。
2.培養學生分析問題的能力，促進知識的遷移
新概念試題要求學生在考場中能夠分析出兩種知識之間的一致性或相似性，然后利用這些共性來解題。而這種知識之間的共性往往潛藏于知識的內部，這就要求學生具有一定的分析問題的能力，因為它是進行知識遷移的重要工具。
例如，為了培養學生分析問題的能力，在進行“應用題”的復習教學時，可先讓學生做一些簡單的應用題，在其達到熟練的情況下，接著進入復合應用題的復習，讓學生試著將復合應用題分解為幾個簡單應用題來求解。在這樣的過程中，學生切身體會到了知識之間的內在聯系，同時也培養了他們分析問題的能力。
在復習中，筆者還嘗試將三角形全等和三角形相似放在一起先后復習；將數的乘方和二次根式放在一起對比復習，都收到了良好的效果。在多年的數學畢業總復習中，我發現學生對事物之間的覺察越敏銳，對事物內部的關系理解得越透徹，就越容易進行知識的遷移。因此，以數學知識為載體，反復引導學生通過分析、對比，從新、舊材料中挖掘其共同因素，抓住事物的本質屬性和內在聯系，在已有結論的基礎上鼓勵他們提出自己的新見解、新突破，是提高學生分析問題能力的有效途徑之一。
3.注重發展學生的合情推理能力
合情推理就是根據已有的知識和經驗，在某種情境中經歷觀察、實驗、猜想等數學活動，推出可能性結論的推理，其實質是“發現”。在最近兩年數學畢業總復習中，筆者嘗試采用“問題串”的形式培養學生的合情推理能力，對學生解決新概念試題大有益處。
例如，在復習“平方差公式”時，可設置如下的“問題串”。
(1)計算并觀察下列每組算式：
(2)已知13×13=169，那么12×14=＿＿？
(3)能舉出一個類似的例子嗎？
(4)在上述過程中，你發現了什么規律？能用語言敘述這個規律嗎？能用代數式表示這個規律嗎？
(5)能證明自己所得到的規律嗎？
利用這樣的“問題串”，引導學生從具體算式中進行觀察、比較，利用歸納推理提出猜想，進而用數學符號表達——若a·a=m，則(a-1)(a+1)=m-1。最后用多項式乘法法則證明猜想的正確性。
在數學總復習中，教師應為學生提供足夠的探索素材和探索空間，啟發學生積極思考，反復組織引導他們經歷觀察、猜想、分析、比較等數學活動的過程，最后做出判斷，找出規律，從而有效地培養、提高學生的合情推理能力，為學生順利解
