【專題名稱】初中數學教與學【專 題 號】G352【復印期號】2010年12期【原文出處】《山東教育（中學刊）》(濟南)2010年26期第37～41頁【作者簡介】馬德志，濰坊市教科院；
周洪濤，濰坊市廣文中學。【關 鍵 詞】EEUU【編 者 按】復習課是常見的重要課型，中考復習時間緊、任務重，是初三教學的重中之重。如何規劃復習的輪次、采取怎樣的教學策略、復習課有什么特點，如何充分發揮學生積極性，避免走入教學誤區，以獲取最大的復習效益，本期針對上述問題選編了五篇文章，既有專家的專題論述又有一線老師的經驗介紹，希望對我們的復習教學有所啟發。
很多教師經常抱怨說：復習的內容多，復習的時間短，不知從何下手。我們也經常聽到學生抱怨：“復習課真沒勁兒，都是過去講過的。”“老做題，我都做糊涂了。”教師與學生的上述反映說明了復習課存在的兩大誤區：一是復習的內容是“老調重彈”，把復習課看成了補課；二是復習的方法是“題海戰術”，把復習課上成了習題課。在復習教學中長期這樣做，會使學生對數學學習越來越感到枯燥無味。
復習，是指為了恢復或強化頭腦里已形成的暫時神經聯系，對已學過的知識進行重新學習。這種重新學習并不是對已學知識的簡單重復、單純的補缺補差，而是通過復習，把教材中的各部分知識進行歸納整理，以達到鞏固提高、融會貫通的目的，從而進行更高層次的再學習。數學復習課應該是從厚到薄，又從薄到厚。我們要精心設計教學內容與環節，激發學生的復習興趣。把復習教學過程組織成學生的再認識過程，從更高的層次、更新的角度進一步掌握、理解已學過的知識和技能，進而提高學生的數學能力，發展學生的數學思維。
一、教學流程
一個完整的學習過程可分為三個階段：學習、保持和再現。心理學告訴我們：學生學過的知識必須在頭腦中保持和再現，以便以后的提取和應用。如果學習之后不復習，那么所學知識將隨時間自動逐漸向原有的觀念還原。這樣遺忘就會出現，記憶就不再保持，從而可能導致永久性遺忘。復習就是通過再學習，把被遺忘的東西重新建立起來，把過去沒有掌握牢固的知識補上，防止還原過程的出現。數學復習課是數學教學的重要組成部分，復習教學不應該是簡單的重復，而是學生對數學知識的認知的繼續深化和提高。一般數學復習課可有如下流程：
二、環節解讀
（一）課前準備階段
因為復習課內容多、綜合性強、難度大，所以課前預習對復習課來說尤為重要，在預習過程中，要圍繞本節課的有關概念，結合以前學的知識與方法，設計一個知識鏈接的前期臺階，以便學生進行有效的課前自主學習（預習）活動。其主要步驟為：
1.教師精心準備預習提綱
布魯納說過，獲得的知識如果沒有完整的結構把它們聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。因此，在自主預習中，教師要引導學生挖掘知識間的內在聯系，歸納、整理、濃縮所學知識，把各個局部的
知識點按一定的角度和一定的方法組成整體，建立合理的知識結構，形成知識網絡，以便于學生更好感知教材、記憶教材；以便于在學生頭腦中儲存，需要時又能很快提取出來，真正實現把書本從厚讀到薄。為達到這一目標，教師必須認真備課，精心設計預習內容框圖或表格，力求清晰、完整、簡潔。不能把知識和問題變成簡單的填空，要適當地進行綜合。
例如：復習一次函數的圖像與性質時，可設計如下圖表，供學生完成：
華師大教材初二結束后復習“三角形”這一專題時，展示如下示意圖：
此示意圖展示了三角形由一般到特殊的演變過程，每一次進化都有新的“基因”產生，在這一演變過程中，可以讓學生嘗試從邊、角、線角度寫出每一進化階段的所有特征。對等腰三角形可以加入底邊上的高，直角三角形可添加斜邊上的高以及中線，然后讓學生繼續添加結論。復習課不同于新授課，教師應把復習的步子邁大一點，把問題的范圍提得大一些，留給學生一個比較廣闊的探究空間，充分發揮學生的聰明才智。
2.組織學生集體預習
在預習環節中，有條件的教師最好組織學生集體預習，其間由教師進行針對性指導。引導學生盡量獨立地完成復習提綱，努力回憶各個
知識點，確實不能回憶時再翻課本找答案。這樣學生通過自己的獨立思考，全面準確地回顧、整理學過的基礎知識、基本技能，比教師單純地講述效果要好得多。同時，教師要多巡視，以便發現問題，在關鍵處給予學生適當適時的指導和點撥。學生預習階段，自己列出
知識點來比單純依靠教師講解印象要深刻，從而實現更高層次上的知識的內化。
在預習過程中教師要充分利用復習提綱中的填空、表格、框圖等形式引導學生回憶、整理復習內容，最大限度地發揮教師的主導作用。回憶，就是要求學生將學過的舊知不斷提取而再現的過程，這是學生獨立聯想的有利時機，應盡最大可能讓他們獨立完成。當然，回憶過程也離不開教師的啟發輔助。常采用如下策略：①獨立地默寫；②同桌相互說；③全班展示交流?；貞涍^程中一般只要求學生寫出或講出“是什么”，不追問“為什么”或“怎么樣”，以便一氣呵成地將所有舊知“拉出來”，提高回憶的效率。因此，學生回憶時，教師不要過多地“插手”或“插嘴”，而是讓學生七嘴八舌地說，龍飛鳳舞地寫，其目的是把有關舊知回憶出來。例如，讓學生回憶我們已經學過了哪些“角”？只要學生講出銳角、直角、平角、對頂角、同位角……所有的角的名稱，不必追問其意義和區別，也不用管這些角的序列?；貞浖仁翘崛∨f知的過程，又是進一步強化記憶的過程，也是互相啟發獲得聯想結果的過程。如果學生的回憶不完整，可由其他學生或教師補充。
（二）課內探究階段
平時教學中，
知識點是一個一個地呈現出來的，總的來說，是比較零散的。而且，經過長期的學習，學生頭腦中已儲存了大量的零散知識，零散知識堆積得越多，越不利于問題的解決，應用時也無法提取。如果學生頭腦中的知識以一種有序的網絡式的方式進行排列，那么，學生在應用時就很容易提取相關知識。因此，復習教學要針對知識的重點、學習的難點和學生的弱點，引導學生按照一定的標準把已學過的知識進行自主整理、自主分類、自主整合，弄清知識的來龍去脈，溝通知識間的縱橫聯系，從整體上組成一個完整的知識網絡系統，以幫助學生形成良好的認知結構。
復習課上具體操作要注重課堂教學的四個重要環節，也就是復習課課堂教學的自主整理、交流提升、精講點撥、鞏固訓練四個環節。其詳細解讀如下：
環節1：自主整理
在這一環節中要讓學生自主地選擇一定角度梳理知識的內在聯系，教師可加以指導。梳理，就是將舊
知識點按一定標準分類、匯總、聯系。因此，梳理是復習課的一個重點。梳理要完成兩項任務：一是將
知識點聯接起來（求同），二是把各
知識點分化開來（求異）。這些工作教師在備課時應充分準備好，否則上課時會造成混亂。梳理往往同板書聯系起來，使視聽融為一體，增強復習效果。梳理過程實質上是將知識條理化、系統化的思考過程，其間應用的思考方法主要是“分類”，即根據一定的標準將知識分化。
例如，四邊形的復習可根據對邊關系分成兩類：兩組對邊分別平行的四邊形（平行四邊形），只有一組對邊平行的四邊形（梯形）。
分類一定要注意如下幾點：
1.分類要準確、清晰，不可重疊分類。
比如對因式分解的方法進行分類時，教師習慣將其分為提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法、添項法、拆項法等。實際上，分組分解法、添項法、拆項法等是方便分解的技巧，對于二次多項式的分解因式，它們都是應用乘法公式或者多項式與多項式的乘法法則：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。甚至可以將乘法公式看成多項式與多項式的乘法法則的特例。學生只有弄清十字相乘法與公式法的聯系才能真正理解十字相乘法，
初中階段十字相乘法包括了公式法。
2.分類要從本質上分類，不可從形式上分類。
比如，在對應用題進行分類時，有教師分為追及問題、相遇問題、調配問題、工程問題等，這種分類人為地增加了學生處理問題時的思維難度，分不如不分。如果按本質分類，可分為等量關系和不等量關系兩類。在等量關系中，又可分為和、差、倍、分關系。抓住了本質，有利于理順學生思維。
3.分類要能促使學生的思維更加條理，促使學生建模能力的提高。
比如在復習一元二次方程的解法時，可以設計如下幾組題目：
又比如在復習相似三角形時，可以對三角形的相似類型進行如下分類。
其實，分類標準本來就是人為的，更何況對有些分類目前也難以統一意見，如三角形按邊分類就有兩種情況：一是分成兩大類——不等邊三角形和等腰三角形，把等邊三角形作為等腰三角形的特例；二是分成三類——不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。這就要看給“等腰三角形”怎么下定義了。到底是分得細一些好，還是粗一些好，可看復習內容的多少來定，復習的內容多要粗分，反之則細分為宜。
環節2：交流提升
交流提升是復習課的鮮明特質。因為新授課的主要目的是將
知識點分化，把握單個知識的本質屬性，一般很少也不可能同后繼知識發生關聯。復習課中，正好就是將所學知識前后貫通、溝通起來，這就是所謂
知識點的泛化。交流并不僅追求知識之間的簡單聯結，而是追求知識本質上的融合。不僅要在異中求同，而且也要在同中求異，這是知識結構轉化為認知結構的重要環節。這就是前面談到的，回憶階段只求“是什么”，而這里“溝通”時還要追求“為什么”問題。如約分與通分，它們的意義不同，本質上根據的卻是同一個理論，即分式的基本性質的具體化，操作時也使用同樣的工具——因式分解。再比如復習特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形時，它們都屬于平行四邊形，具備平行四邊形的一切特點，但它們分別是平行四邊形在角上的特殊化、邊上的特殊化、角與邊兩者上的特殊化，具有各自獨特的性質，同時它們的這些特性都可以作為它們的判定。
交流時既可讓學生提出疑問，也可由教師出示問題讓學生思考回答，還可采用學生互相討論等形式，這要看具體運作情況而定。通過師生共同交流收獲，完成對知識的回顧，同時引導學生構建出所復習內容的知識結構，使復習的內容條理清晰地呈現在學生面前，完成“由厚到薄”的學習過程。同時，明晰本部分知識的重點、難點、疑點和關鍵點，要有針對性地進行引導，以達到提升能力的目的。
環節3：精講點撥
精講點撥指的是學生先獨立完成典型例題，然后分組交流體驗和收獲，最后師生共同剖析典型例題，真正弄懂、弄通典型例題。通過對精選典型例題體驗和剖析，能進一步鞏固復習內容，提高學生分析問題、解決問題的能力。
在這一環節中，例題的選擇尤為重要，要遵循以下原則：
①題目類型要有代表性，題目涉及的
知識點要盡量覆蓋復習的內容，具有一定的綜合性。比如復習一元二次方程時，設計如下題目：已知
，不解方程求下列算式的值：
上述小題包括了代數式變形的主要方式：通分、整體代換、分解因式、整式乘法。其他變形題目均為這四種方式或者它們的組合，學生通過這一題目就可以歸納出此類題目的主要解決方式。
②要選擇能體現“通性通法”，即包含最基本的數學思想方法的題目，不要追求偏、怪、難，最好是“一題多解，一題多變”的訓練。比如復習三角形中角度的求法時，設計如下題目：
如圖，△ABC中，AB=AC，兩底角平分線BD、CE相交于點O，∠A=50°，求∠BOC的度數。若把條件“AB=AC”去掉，其他條件不變，∠BOC的度數還能求出嗎？請說明理由。
變式一：如下左圖
把“兩底角平分線相交于點O”改為“兩條腰上的高線相交于點O”，其他條件不變。
變式二：如下右圖
把“兩底角平分線相交于點O，”改為“兩邊AB、AC的垂直平分線相交于點O”，其他條件不變。
學生通過上述題目中角度求法的多樣性，可以深刻體會轉化的數學思想，同時歸納出角度轉化的幾種主要途徑——作為外角轉化、作為內角轉化、作為對頂角轉化、作為周角或平角的一部分進行轉化、作為同位角轉化等。
③題目的編排要按邏輯順序排列，以便學生由淺入深地學習。
比如在復習“勾股定理及應用”時設計如下題組：
1.一塊長3m、寬2.2m的薄木板能否從高為2m、寬0.9m門框內通過？為什么？
2.在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求△ABC的面積。
3.鄭凱想知道學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發現下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？
4.如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE（此時DE為AB的中垂線），若已知AC=8cm，BC=6cm，你能求出CE的長嗎？
前兩題是直角三角形中已知兩邊求第三邊，實際上是開方運算。后兩題是直角三角形中已知一邊及另兩邊關系，求未知兩邊，實際上是列方程求解。體現了由易而難的設計理念。
再比如復習平行四邊形的性質時，首先設計單純平行四邊形的題目，然后設計在平行四邊形中添加一條對角線的題目，然后添加兩條對角線，然后設計添加一個角的平分線、兩個角的平分線、一條邊上的高、兩條邊上的高等，圖形逐漸復雜，難度逐漸增加。而學生也在這種循序漸進的教學設計中受益頗豐。
④題目設計不要貪多，別指望一節課解決所有的問題。其次，要考慮本班的學情，所選的題目應有不同的層次與梯度，使基礎好的學生能解高檔題，基礎差的學生能解低檔題，爭取中檔題，使知識發生發展的規律與學生的認識規律有機結合起來，使教學目標指向每個學生的“最近發展區”。另外，要緊扣課標和大綱，突出“三基”；要有針對性：針對重點難點、針對學生的易錯易混點；要注意有計劃地滲透綜合題，提高綜合解題能力；題目不應千篇一律，要有一定的變化，有靈活性。
此環節具體操作時應先由學生獨立完成例題的求解，再由師生共同交流總結，交流時要注意分析過程要強化，“輕結果，重過程”。注意引導學生如何“審題”，思考題目特點，掌握解題思路，重視過程分析。在交流時還要注意解題規律的總結，例題解答之后，要引導學生交流反思解題過程，總結解題經驗。
比如下題：
如圖1，在△ABC中，AB=AC，且有AD=BD=BC，求∠A的度數。
學生做此題時普遍感到無從下手，此時要適時引導學生注意題目特點：沒有與角度相關的數據，只有線段關系。所以要從線段關系所體現的角度關系入手，引導學生建立方程。同時出示如下題目以作比較，以使學生體會方程的思想，總結解決此類問題的規律。
1.如圖2所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=DC，BD=BC，求上C。
2.如圖3所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，求上C。
環節4：鞏固訓練
復習課教學應該充分體現“有講有練，精講精練，邊講邊練，以練為主”的原則。習題設計要選擇有針對性、典型性、啟發性和系統性的問題，突出抓基礎練，抓重點練，抓綜合練，抓一題多解或一題多變，做到舉一反三，使學生通過練習不斷受到啟發，并在練習中進一步完善知識結構，要避免大量重復的機械練習，要少而精。設計基礎題，夯實基礎；設計對比題、判斷題、改錯題，讓學生對知識進行辨析與鞏固；設計綜合題，提高學生的解題技能。例如復習相似三角形的判定定理時，設計如下練習：
如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，AE⊥EF。
求證：△ABE∽△AEF，
△ABE∽△ECF。
變式訓練1：如圖4，本題改為等邊三角形ABC，O是BC的中點，∠EOF=60°，
求證：△BEO∽△COF，△BEO∽△EOF。
變式訓練2：如圖5，本題改為等腰直角三角形ABC，O是BC的中點，∠EOF=45°，
求證：△BEO∽△COF，△BEO∽△EOF
變式訓練3：如圖6，本題改為等腰三角形ABC（底角為70°），O是BC的中點，∠EOF=70°。
求證：△BEO∽△COF，△BEO∽△EOF。
變式訓練4：在變式訓練3中，若∠A=α，∠EOF=β，試探求α、β的函數關系式，使△BEO∽△COF。
學生通過上述變式訓練，不僅復習了相似三角形的判定定理，還訓練了學生類比、歸納的數學思想方法，發展了學生的變通能力。
本環節是對復習的數學知識和思想方法的運用，是培養學生解題能力的又一次升華。其間要求學生迅速完成鞏固練習，然后對學習和練習結果進行評價、反饋，對其中暴露的缺陷和不足應及時矯正、補償，同時規范解題過程。值得一提的是，復習課上的練習應集中在一起（劃定一段時間），而不宜分散進行。這樣既能集中學生注意力，又能節省復習時間。
課堂總結是整節課系統的概括，是全部教學活動的落腳點和歸宿。應該包括：(1)站在整個中學數學體系的高度，完整地歸納概括復習內容；(2)概括總結數學思想方法，說明適應范圍和應注意的問題；(3)對復習過程中暴露出的問題，要進行強調，同時選配一些有針對性的課外練習等。
（三）課后延伸階段
課后延伸包括以下幾點：
一是分層次的課后作業。作業要分層次，分為必做與選做。也可以布置探究性作業，要為以后的學習與發展起作用。
二是必要的再復習、再提高、再鞏固。
三是課后的相關問題的應用、探究活動或研究性學習等。
青島版
初中數學初一下冊《圖形與坐標》復習課的課后延伸階段：
（一）作業部分
必做題：
1.一次函數y=(m-1)x+|m|-1的圖像經過原點，則m=＿＿；若該函數y隨x的增大而增大，則m＿＿。
2.已知直線y=-2x+6交x軸于點A，交y軸于點B，求△ABO的面積。
選作題：
在洗滌衣服時（從洗衣機內無水開始），洗衣機經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間滿足某種函數關系，若洗衣機清洗時水量為20升，你給出其他數據，畫出函數的圖像。
（二）課題研究部分
課題1.研究分段函數的圖像畫法。
課題2.根據生活中的實際問題研究函數圖像與最值問題，體現線性規劃的思想。
三、復習課教學應注意的幾個問題
（一）復習的目標定位準確
復習課要根據復習的內容、時間和學生的實際水平確定教學目標，目標不可太高和太低。目標太高會影響學生的學習情緒，使大部分學生失去學習信心；目標太低會使學生感到復習無味，不能提高知識水平。復習目標要照顧到不同的學生。
（二）教學要面向全體學生
任何一個班級、任何一個學科都會有幾名成績優秀的學生，教師一方面要使這些“尖子”學生的成績得以維持和提高，另一方面要充分發揮他們在班級的“龍頭”帶動作用。他們也存在著問題，多為解決問題的欠規范和解決問題方法的優化問題，復習時應該對他們進行規范、優化與提升。中等生在班級總是占大多數，他們的學習往往存在著
知識點的欠缺和解決問題方法的單一等問題。通過復習課教學，使他們完善知識體系、明確解決問題的方法。差生的問題往往是知識不明白，沒有解決問題的方法，即使有了方法解決問題也出錯。對待他們的方法是設計低起點的問題，圍繞著重點設計問題，通過復習將重點知識鞏固，學會基本的方法。為此，(1)在課堂教學中，根據所學的內容精心設計盡可能多的基礎題、拓展題、拔高題，在提問中使好、中、差學生各有施展的機會；(2)每次習題訓練或考試都編制A、B兩套題目，讓好、中、差學生在答題時傾其所學、盡情發揮、各得其所。
（三）留給學生思考的時間與空間
復習課的時間緊、內容多，教師設計教學時往往將復習內容面面俱到、教師活動環環相扣，但是教師往往忽視了學生活動的設計，留給學生活動的時間、空間很小。教師要給予學生足夠的時間與空間，讓學生自由地活動。學生只有在活動的過程中才能感悟出數學的真諦，才能鞏固與提升，才能有創新。教師要抓住復習的重點與關鍵設計復習課教學，使設計的問題有拓展空間、有變式空間，題目要少而精，切中要害。
（四）讓學生充分暴露思維過程和問題
目前，數學教學只重視數學結論的教學，忽視數學結果獲得的思維過程（如忽視概念的形成過程、理論的推導過程、方法的思維過程、問題被發現的過程等），把學生的思維禁錮在機械模仿和記憶的思維定勢中，在教學中廣泛存在，這不利于發展學生的思維能力，對培養同學們的創新精神是極為不利的。
課堂教學中，教師的設計很完整，課堂上對學生回答問題或板演，有的老師是想方設法使之不出一點差錯，即使是一些容易產生典型錯誤的稍難問題，也有“高招”使學生按設計的正確方法去解決。這樣就掩蓋了錯誤的暴露以及糾正過程，忽視了教學中的陷阱，造成學生上課一聽就懂，課后一做就錯的不良后果，從而成為教學上的誤區。在課堂上，通過一兩個典型的問題，讓學生暴露錯誤，師生共同分析出錯誤的原因，學生就能從反面吸取經驗教訓，迅速從錯誤中走出來，從而增強辨別錯誤的能力，同時也提高了分析問題和解決問題的能力。
因此，要想少出錯，教學中就應該以積極主動的態度對待錯誤和失敗，備課時可適當從錯誤思路去構思，課堂上應加強對典型歧路的分析，充分暴露錯誤的思維過程，使學生在糾錯的過程中掌握正確的思維方法。
總之，我們認為，高效率復習課教學要做到：“精選題目，分層設計；學生在前，教師在后；互動交流，合作解惑；抓住要害，點在關鍵；揭示內在聯系，關注思想方法。”^NU1DA20110217
