【專題名稱】初中數學教與學【專 題 號】G352【復印期號】2010年11期【原文出處】《中國數學教育：初中版》(沈陽)2010年6期第22～24頁【作者簡介】姚志敏，浙江省紹興縣教師發展中心；
單國炎，虞青，錢衛娣，浙江省紹興縣實驗中學。【關 鍵 詞】EEUU
執教／姚志敏 評析／單國炎 虞青 錢衛娣
一、背景介紹
有效的數學教學應體現目標達成的有效性，主體參與的有效性，知識建構的有效性，師生互動的有效性，學生發展的有效性，等等。傳統的數學教學關注“雙基”，追求效率。而新課程的數學教學則關注“雙基”與“過程、能力、情感、態度、價值觀”的協調發展，以效率促效益。但廣大教師在教學實踐中往往容易產生偏差，有的教師只關注教學任務的完成，忽略學生的接受程度；有的教師只重視結果，而忽略過程。為了體現課堂教學從重“效率”向重“效益”的方向發展，教師精心設計了一堂平行四邊形復習課。下面是對這節課的過程描述及課后反思。
片斷1：提出問題
問題1 畫一畫：有一天，李老師的兒子從幼兒園放學來到辦公室，看到鄭老師辦公桌上一張平行四邊形紙片，于是就拿起筆來畫畫，畫了一會兒，不小心作品被撕去了一些，巧的是剛好從A、C兩個頂點撕開（如圖1所示）。你能幫他補全平行四邊形嗎？
圖1
問題提出不久，許多學生就躍躍欲試，經教師同意后，學生表述了各自的方法。
方法1：過點A作BC的平行線AE，過點C作AB的平行線CF，交AE于點D，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（原理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；
方法2：過點A作BC的平行線AE，并在AE上截取AD=BC，連接CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（原理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
方法3：連接AC，取AC的中點O，連接BO，并延長到點D，使BO=DO，再分別連接AD、CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（原理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；
方法4：分別以點A、點C為圓心，以AB、BC為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD、CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（原理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；
……
【點評】該教師的導入設計具有一定的藝術性，他創設富有新意的數學活動情境，以問題為出發點，喚起學生對知識的回憶，讓學生感覺復習不再是“老生常談”和對
知識點的羅列，把學生的注意力吸引到復習教學中。在輕松、和諧的課堂氛圍中，學生的思路一下子被打開了，要補全一個平行四邊形，其實就是要能夠說明一個四邊形是平行四邊形。學生的思維馬上從畫圖轉到論證、說理，腦子里原有的一套平行四邊形的判定方法立刻清晰浮現。因此在回答問題時，從平行四邊形的定義到判定定理，都脫口而出，得心應手。
在學生用不同的方法補全平行四邊形后，教師引導學生完成如下表格。
（因為有上述情境的鋪墊，學生僅用了1分鐘左右的時間便完成了表格的填寫。）
[點評]因為是復習課，所以有必要要求學生對平行四邊形的內容有一個整體的認知，回顧基本
知識點，讓學生在腦子里有清晰的知識“儲藏圖”，從而為后續學習打下良好的基礎。教學中，教師讓學生在最短的時間內充分體驗求知的過程，在知識、技能、過程、方法等方面得到充分、和諧、持續的發展。
片斷2：基礎應用
練習1 如圖2，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，則圖中共有全等三角形( )。
(A)2對 (B)3對
(C)4對 (D)5對
答案：C。
圖2
變式1 如圖3，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，EF過點O，交AD于點E，交BC于點F，則圖中共有全等三角形( )。
(A)5對 (B)6對
(C)7對 (D)8對
答案：B。
圖3
變式2 如圖4，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，EF過點O，交AD于點E，交BC于點F，AB=5，BC=6，OE=2，則四邊形EFCD的周長是( )。
(A)11 (B)13
(C)15 (D)17
答案：C。
圖4
【點評】通過對基礎題型的訓練，將學生的思維激活。所選題目難度較小，目的在于動員全體學生的參與熱情。教師在復習中，既注重變式訓練，又能多角度地去刺激學生，在變式中不斷拓展學生的思維，使他們的思維更加靈活。
片斷3：綜合應用
練習2 如圖5，在平行四邊形ABCD中，∠DAB的平分線AE交CD于點E，BC=9，AB=15，則CE=＿＿；若BF平分∠ABC，則EF=＿＿。
答案：CE=6，EF=3。
圖5
練習3 如圖6，在△ABC中，BD、CE是邊AC、AB的中線，BD與CE交于點O，M、N分別是OB、OC的中點。求證：EM=DN。
在指導學生解答此題時，教師先啟發學生回憶：證明兩條線段相等有幾種方法？
圖6
學生陸續回憶起各種方法：利用全等三角形性質、等腰三角形性質、線段中垂線性質、角平分線性質、平行四邊形性質……在教師引導下，學生很快就給出了證明的方法。
解：（方法1） 分別連接ED和MN，利用三角形中位線性質證出ED∥MN且ED=MN，得到四邊形EMND是平行四邊形，推出EM=DN。
（方法2） 連接AO，利用三角形中位線性質，證出EM∥AO且
，即EM=DN。
【點評】教材要求學生能綜合運用平行四邊形的判定定理和性質定理來解決一些基本問題，這里教師選取了平行四邊形性質應用中的兩道典型例題，也是本章內容對基本模型、基本能力考查的一個重要方面。建構主義學習是一個積極主動的建構過程，學生不是被動地接受外在信息，而是根據先前認知結構主動、有選擇地利用外在信息，建構其新的知識體系。教學中，教師引導學生尋找具有橋梁作用的“第三量”，利用“第三量”把所要解決的問題簡單化，對學生探索能力的培養起到較好的作用，同時也滲透了建構主義的教育思想。
片斷4：溫故知新
問題2 拼一拼：用兩張全等的三角形紙片（如圖7所示），你能拼出幾種四邊形？
圖7
讓學生動手實踐，得出以三角形的一條邊為對角線有6種方法（如圖8所示）。
圖8
接著教師再引導學生觀察、思考，上述圖形可以分為幾類圖形？
學生得出：一類平行四邊形；一類一般四邊形。
教師再啟發學生是否還有其他分類方法？
學生又得出：一類軸對稱圖形；另一類中心對稱圖形。
……
教師繼續提問：已知不在同一直線上的三點A、B、C，求作第四點D，使以點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形。
有了上面的基礎，學生很快得到了3個不同的點D的位置。
【點評】學習的目的在于運用。在上課開始時，教師用一個不完整的平行四邊形引出課題，在這里又通過讓學生動手拼接圖形來達到溫故知新的目的，也使課堂前后呼應，加深學生對知識的理解和掌握。教師讓學生觀察、想象、討論、動手實踐，將不同層次的學生都調動起來，激勵他們的學習信心，為學生的能力提高和知識掌握營造了良好的環境，同時又很好地體現了數學中的分類討論思想，使學生的數學能力得到進一步提升。
片斷5：應用拓展
拓展1 如圖9，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若點P是對角線BD上任意一點，則
嗎？
圖9
在教學時，教師引導學生用兩種方法來說明
。
變式 如圖10，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，直線m過O，交AD于點E，交BC于點F，若平行四邊形ABCD的面積為18，則陰影部分的面積為＿＿。
圖10
學生易得陰影面積為9。
拓展2 如圖11，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，直線m過點O，交AD于點E，交BC于點F，若點G、H分別是BO、DO的中點。
圖11
(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形。
(2)若直線m繞點O旋轉，交直線AD于點E，交直線BC于點F，上述結論還成立嗎？
此題的第(1)小題證法很多，在教學中，教師讓學生充分張揚個性，最后指出：在平時解題中，一般要遵循最優化原則。此題的難點是第(2)小題，教師在讓學生探究時，做了必要的鋪墊，引導學生自然地畫出了圖形（如圖12所示），而后利用第(1)小題的方法輕松證得結論成立，但當直線EF與BD重合時，顯然結論是不成立的。
圖12
【點評】變式的妙處在于圖形雖然變化，但蘊涵在其中的數學本質卻沒有變化。如何讓學生發現“變化的”和“不變的”，這就需要教師巧妙的教學藝術。教師根據學生的實際，逐步培養他們用類比、運動等思維方式來推廣命題的能力，以一題多變的方式讓學生能用運動、聯系的觀點看待問題，這是對數學知識的深層次應用，也是能力考查的終端要求。因為對學生的思維要求較高，因此在教學中，要讓學生全身心地投入到學習中去，這需要很深的教學功底。
二、課后總體評析
隨著教育改革步伐的不斷深入，在新課程的理念下，學生的課堂學習方式發生了根本性改變，動手實踐、自主探索、合作交流已成為學習數學的重要方式。該教師的“平行四邊形”的復習課課例，精心設計了教學過程，引導學生經歷“做數學”的過程，讓學生以動手、動腦和合作學習來探索問題，促進學生的發展。教學活動的設計始終圍繞本節課的主題展開，從直觀感知平行四邊形，到理論論證平行四邊形；從平行四邊形的性質、判定的回顧，到基本運用和綜合應用；從不變的已知條件到運動的點線關系，層層遞進、逐步深化。從每名學生的角度去發現問題、思考問題和解決問題，將復習落到實處。
在這次觀摩活動中，教師的精彩表現，較好地詮釋了新課程的教學理念，充分展示了教學魅力，對課堂教學從重“效率”向重“效益”方向的轉變，該教師起到了很好的示范作用。在這節復習課中以下幾點是我們今后教學中值得關注的。
1.實現了學生的學習方式根本性轉變
該教師的課堂展開，是按照維果斯基的“最近發展區”原理，教學情境的創設有效服務于教學，不嘩眾取寵，從學生原有知識經驗入手，通過讓學生畫平行四邊形、拼四邊形、找平行四邊形的第四個點等實踐操作活動，讓學生主動地回憶起平行四邊形的知識，真正引導學生經歷“做數學”的過程，這樣，既激發學生的學習興趣，又培養學生動手操作技能和歸納想象能力。
2.營造了“自主探索，合作交流”的氛圍
該教師從問題入手，符合學生的認知特點，調動學生主動參與、自主探索，親身體驗知識的形成過程，讓學生歸納出解決問題的方法。無論是引導布置探索內容，還是參與討論，協調學生之間的交流，及時鼓勵評價學生等方面，特別是在應用拓展環節，由于巧妙地改變題目的條件后，對命題加以引申和推廣，學生的思路特別活躍，發言爭先恐后，意見不一，即使這樣，教師也不立刻給出結論。此時他作為教師的角色已經發生了很大的變化，由原來的指導者轉變為組織者、引導者和活動的配合者，不斷鼓勵學生大膽探索，引導學生關注過程，及時肯定學生的表現，鼓勵創新。
3.注意互動活動的安排
高質量互動是課堂生成有效教學的關鍵。教學中，教師不拘泥于細枝末節，把握總體環節。適當鋪墊，還學生自由探索的時空。適度地進行師生對話，多讓學生有效互動，不旁觀等待，適時介入。讓互動充滿思想的交流、思維的碰撞、經驗的提升、情感的溝通。
三、結束語
總體而言，這既是一堂能采用新理念、新思路的專題復習課，又是一堂能大膽整合教材，培養學生能力的創新課。整堂課在平行四邊形性質探究活動中，牢牢抓住數學本質，學習了圖形變換思想、轉化思想、分類教學思想，體會了數學思維的嚴密性、嚴謹性。教師與學生一起在不斷合作、探究中一路走來，師生互動頻繁，數學活動真實、有效。教師又能適時抓住時機，在數學活動中揭示數學的本質，使課堂呈現出深思、高效的教學效果。
作為教師，在今后的教學工作中要觀察課堂教學細節過程中的點點滴滴，并從中吸取經驗教訓，不斷改進課堂教學，使教學合理化、智慧化、精致化、高效化。教師的理性引領猶如火把，能點燃學生頭腦中智慧的火花，師生在合作、探討中共同向思維的縱深處發展，用智慧打造科學、高效的課堂。^NU1DA20110106
