按：幾何證明課上，如何引導學生思考，啟迪學生的思維，這是每個老師要解決的一個問題。周六給2個初二學生（一個男孩一個女孩，以下分別稱為B和G）上過一節正方形的課。課上就幾何證明的分析以及輔助線的添加，師生展開了探討。（以下老師簡稱T，學生分別稱為B、G）在備課過程中，老師會準備題型，也預設一些拓展和結論，以期達到揭示規律，展示精彩內容，讓學生在學習過程中領悟方法，掌握技能。但是，一個好的老師，不僅要認真備課，還要把課堂交給學生。拓展、生成，不能靠灌輸，還要靠學生去探索發現。這樣的拓展、生成，正是學生的思考的結晶。
B:幾何證明該如何思考？輔助線添加怎么想到？
T：不錯的問題，這可是一直困擾同學們的一個問題。我們做幾何證明題，有條件和問題兩個方面，根據條件，解決問題。問題的關鍵是怎樣把這方面結合起來解決問題？我們要根據兩方面來往中間湊，首先根據已知條件，能得到什么結論？同時我們要看問題是什么，需要證明什么？這樣兩頭往中間思考，聯結起來，問題就一點點解決。
G：可是有時候給的條件不知道怎么用。
T:這的確是常見的問題。一下復雜的問題的確不是一看就能推導的，這時候我們需要多一些分析。我們從條件和問題兩方面出發，分別探討。
T:如果條件中有中點，你會想到什么？
G：中位線
B：直角三角形斜邊中線
G：等腰三角形三線合一
T：很好，還有沒有？
G:遇到中線可以加倍延長中線
T:非常好，還有？
B:平行線對角線互相平分
G:線段的垂直平分線
。。。
T:非常好，已經說了很多了，如果到了初三還能說出更多。這就是了，如果遇到中點問題，那么我們腦海中會印出以上的知識點。然后根據題目特點選取適當的定理或者方法應用。這些，就是題目所能給與我們的。
T:另一方面，我們要證明的結論，也會讓我們思考我們需要什么。比如，要證明兩條線段相等，會有什么方法？
B:全等、等角對等邊
T:中線，斜邊中線等于斜邊一邊，線段垂直平分線定理，角平分線定理
B:平行四邊形的對角線互相平分
...
T:不錯，說了很多常用的證明線段相等的方法。但是做題時，根據題目圖形的特點，應該是能較快的得到可能要采取的方法。比如，如果要證明兩條線段相等，如下圖這樣位置關系的兩條線段相等。我們要根據題目特點來思考。兩條相交的線段相等，很多方法就不能用了。但是是否可以連接AB\BC\CD\DA，證明ABCD是矩形？
B：矩形對角線相等
T：對，如果想到這一點，思路對路，接下來就不難了。所以我們不僅要會思考，更要將基礎知識點牢記。這樣思維發散起來。
T:綜上，根據題目條件，得出結論；根據問題，看需要什么。兩者結合，問題就好解決了。
T:通過下面一道題，我們展示這種思維方法。先解決第一問。
3分鐘之后。。。。。
G：我的判斷是FM=DM，且FM⊥DM。我做出了一種輔助線，但是證明還有些困難。
T:非常好，說說看
G:剛說到中點，我就想這沒有等腰三角形，三線合一應該不可能。連接AC,CE，∠ACE=90°，連接MC，則直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，所以AM=ME=MC。
T：然后
G：（停頓）。。。然后可以證明△FMC≌△FME，所以∠CFM=∠EFM=45°。。。。要是能證明∠FDM=45°就好了
T：那么怎么證明呢？
G:(沉思）。。。有點想不出
T:直接來不行可以換個思路
G:∠FDM=∠2+∠5，可以證明△ADM≌△CDM，所以∠1=∠5，∠3=∠4，∠AMC=∠1+∠5=∠4+∠3，所以∠5=∠3，
所以∠FDM=∠2+∠5=∠2+∠3=45°！yeah！
T:
所以△FDH為等腰直角三角形，所以結論成立。
點評:抓住中點這個條件，構造直角三角形，利用斜邊中線等于斜邊一般的性質解決問題。比較巧妙。那么，還有別的方法嗎？
B：是不是可以中線倍長？
T:如何倍長？畫圖
B：延長DM交FE于N
T:然后？
B：AD=NE,DM=MN，
T：那么如果要證明DM=FM,DM⊥FM，意味著什么?
B:意味著要證明△FDN為等腰直角三角形，就是要FN=FD。因為FE=FC，NE=AD=DC，所以FD=FN，所以△FDN為等腰直角三角形；因為M為DN中點，所以FM=DM，且FM⊥DM；
T：很不錯，都通過自己分析完成了證明。那么繼續第2問，是否（1）中結論是否依然成立？
B/G：成立。但是怎么證明。。。
T：第一問就是引子，第二問的方法也要參考第一問。我只能說和第一問類似。你們可再推導。
G：我的方法不行了在第二問不能用了，不能構造直角三角形了；可以嘗試用中線倍長。
G:加倍延長DM至N，使得MN=DM，所以△ADM≌△ENM，所以NE=AD
B:還是要證明△FDN為等腰直角三角形，就是要證明△FDC≌△FNE，FC=FE，DC=AD=NE。。。。。。怎么證明∠FCD=∠FEN呢。。。。
G：有些苦難
T：思路是對的。朝這個思路走下去就肯定能出來，只是有些曲折。現在先把這個問題暫停一下，中線倍長一定要用DM倍長嗎？
G：還可以倍長FM。（畫圖）
G:倍長FM=MQ，則FE=AQ,AQ∥FE，三角形FC=FE=AQ,AD=DC，還有∠2=∠1，哇。。。。這樣兩副圖畫在一起，我找到了剛才角度的證明方法了。。。。只要過A做個平行線，∠3=∠5，所以∠4=∠2=∠1。。。。那么就能在倍長DM的情況下證明了。。。。
T：很好，我們根據中點這個性質，找到了方法順利解決問題。現在說說你們的收貨：
B：還可以將ABCD旋轉，讓DC和CG重合，還可以旋轉別的角度，應該都是差不多的方法。
G:一道題可能有不同的解法，關鍵是抓住題目的特點，并結合問題來分析。只要路子對，就能走得通。
T：說的很對。并不是每道題都值得我們一題多解、拓展思考。但是好題一定要這樣去多想想，多總結。只要多思考多總結，就會積累更多的辦法和經驗，下次遇到問題，也就能快速的找到突破口解決問題。
