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史寧中教授認為歸納推理是一種根據“事實”進行的推理，這一過程中的概念或法則不需要嚴格的規定或定義，有助于探索數學的新思路；而演繹推理是基于“理念”進行推理，推理過程中所運用到的概念、法則則必須是明確的，由演繹推理得到的結論是正確的結論。將兩者相融合，即歸納推理提供思路，隨后以演繹推理嚴密的邏輯性驗證其正確性，共同完成數學問題的推理過程。

question 1

“雙垂直模型”背景下的幾何綜合題

雙垂直模型

解法分析：本題的第(1)問借助圖中的“雙垂直模型”，可以證明兩組三角形全等，先證明BF=DP，在證明BF=2BE，繼而得證。

解法分析：本題的第(1)問一旦求出，后面的特殊情況參照第(1)問的分析和解答過程即可解決。本題的第(2)問還是在等腰直角三角形的背景下，但是改變了點P的特殊位置，為了證明結論可以構造第(1)問的圖形，即過點P作平行線，此時△BEC和△EFC、△AMC和△ABF的全等仍然存在，只是需要借助構造的A型圖形進行比例線段的轉化。(即轉化DE和DP)

解法分析：本題的第(3)問則在②的基礎上更加一般化，但是問題解決的路徑還是不變的，就是由△AMC和△ABF全等變為了相似。

總結：此題是一道以“雙垂直”模型為背景的幾何壓軸題，由第(1)問的條件、結論特殊化到條件、結論一般化，學生通過將第(1)問中問題解決的方法延續到了第(3)問中，從發現全等三角形到構造相似三角形，其中滲透著歸納推理的思想，對于學生高階思維的培養起著潛移默化的作用。.

question 2

“A型圖”背景下的幾何綜合題

A型基本模型

解法分析：本題的第(1)問是等邊三角形背景下的特殊情況。可以借助點D為中點作平行線，也可以直接通過解三角形求得比值。

方法1：借助等邊三角形的性質解三角形求比值。

方法2：過點D作AB平行線構造A型基本圖形，構造全等三角形，2次利用A型基本圖形求線段比值。

解法分析：本題的第(2)問延用第(1)問的思路，仍舊可以通過過點D作AB的平行線構造A型基本圖形，與第(1)問的證明過程如出一轍。

解法分析：本題的第(3)問在(2)的基礎上更加一般化，但是問題解決的方法和思路還是不變的。此時問題的突破口在于找到AB和DH間的數量關系，即找到EH和BE間的數量關系。

總結：此題是一道以三角形為背景的綜合性試題，具有很強的探究性，對學生的歸納推理能力和運算能力的要求都比較高。三道小題以“A”型基本圖形為基礎，拾級而上，從特殊到一般，融合了全等與相似知識，要求學生利用幾何推理論證和代數思維求線段的比值.特別是第(3)小題的拓展研究，是在一個抽象程度更高的背景下進行研究的。雖然此時全等和相似的對象變化了，但是問題的本質沒有改變，解題方法沒有改變，對學生代數思維的素養要求上升到了一個更高的層次。

question 3

“角平分線”背景下的幾何綜合題

角平分線背景下常見的輔助線添線方法

利用角平分線的“對稱性”進行輔助線的添加：即通過“截取”或者“延長”的方式構造全等三角形，證明線段間的和差關系。

解法分析：第(1)小題中，第①問是一種特殊情況，由△ABC是等邊三角形，很容易得到結論；第②問是一種變式，結論仍然成立。論證的總體思路是“截長”。利用角平分線的對稱性，構造兩組全等三角形：△OCD和△OCG和△BOG和△BOE。

解法分析：對于第(2)小題，首先類比猜想結論為AC=AD+BC.思路是以AC為底，在AC上方，也構造如上題所示的圖形.通過過點B作AC的對稱點E，化歸證明滿足第(1)小題第②問的條件，利用上述的結論進行歸納推理，從而得證。

總結：此題要探究含60°角的三角形的內向具有的性質，先從等邊三角形出發，通過變式得到一般的結論，然后遷移到圓的特點背景中.通過添加輔助線構造滿足條件的三角形，應用探究歸納得到的規律解決問題.像這樣以圖形的規律為焦點，通過特殊情況感知規律、通過變式猜想規律、通過論證證明規律、通過遷移應用瑰麗，整個過程滲透了歸納推理的思想。

question 4

“十字型”背景下的幾何綜合題

十字型模型

如圖所示是典型的“十字形”模型，基本特征是在正方形中構成了一個互相垂直的“十字形”，由此產生了兩組相等的銳角以及一組全等的三角形。

解法分析：本題的前兩問依托“十字型”模型，通過平移EG、FH構造全等三角形或相似三角形構造線段的比；本題的第(3)問雖是一個普通的四邊形，但是通過過點C作AB的垂線構造相似三角形，又和問題(2)比較類似，從而順利解決問題。

總結：此題是一道以四邊形為載體命制的綜合題，考察了圖形的平移運動、平行四邊形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質。此題以問題為導向，考察學生積累數學經驗、增強應用意識的能力.學生可以通過觀察、發現及證明，運用所學基礎知識和基本證明方法開展對圖形的探究。

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