第19招：摩肩接踵 - 解三角形中多三角形問(wèn)題
解三角形是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題.這類(lèi)題目有時(shí)會(huì)涉及多個(gè)三角形,四邊形甚至多邊形.在解三角形的問(wèn)題中,若已知條件同時(shí)含有邊和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,解題的一般思想是結(jié)合題意找出已知條件最多的一個(gè)三角形,先從該三角形入手,再根據(jù)求得的結(jié)果作為條件,利用公共角或邊,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、平行四邊形的內(nèi)錯(cuò)角同位角,逐步求解其余三角形,直到得到答案.
多三角形問(wèn)題一般會(huì)綜合幾種解三角形模型在一個(gè)圖形中,往往有一定的難度,要合理利用“邊化角”或是“角化邊”,活用正弦定理、余弦定理及面積公式.
1.找出三角形中相對(duì)條件最多的那個(gè)三角形(一般情況下,一個(gè)三角形中給定邊和角的條件數(shù)之和達(dá)到3個(gè)即可)
(1)若式子中含有正弦的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”;
(2)若式子中含有、、的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”;
(3)若式子中含有余弦的齊次式,優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”;
(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置;
(5)含有面積公式的問(wèn)題,要考慮結(jié)合余弦定理求解;
(6)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí),要用到三角形的內(nèi)角和定理.
2.注意同一個(gè)角屬于兩個(gè)三角形中時(shí),如中
是上一點(diǎn),則角分別屬于和,此時(shí)有機(jī)會(huì)利用余弦定理進(jìn)行求解.
3.合理利用互補(bǔ)角的余弦值之和為這一隱含條件,如中是上一點(diǎn),,則與的余弦值之和為,可利用余弦定理進(jìn)行求解.
(2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷)在中,角的對(duì)邊分別為,已知.
(1)求的值;
(2)在邊上取一點(diǎn),使得,求
的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由余弦定理得,
所以.
由正弦定理得.
(2)由于,,所以.
由于,所以,所以.
所以
.
由于,所以.
所以.
1.(河南省新鄉(xiāng)市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科)如圖,銳角外接圓的半徑為,點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上,,,的面積為.
(1)求;
(2)求的長(zhǎng).
2.在四邊形中,,.
(1)若,求;
(2)若,求.
