2． 空間與圖形
按照《課程標準》中對學習內容的分類，“空間與圖形”部分的課程內容主要包括“圖形的認識”、“圖形與變換”、“圖形與坐標”、“圖形與證明”等。而每一部分內容的學習重心、基本要點將毫無疑問的成為重點考查內容。
特別需要指出的是，培養學生的“空間觀念”成為整個“空間與圖形”部分的最主要課程目標。而對于什么是空間觀念，《課程標準》沒有給出明確界定。但《課程標準》描述了“空間觀念”的一些外在表現，具體包括：
①“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化”；
②“能根據條件做出立體模型或畫出圖形”；
上述兩者都側重于三維實物與平面圖形的轉化，強調的是一種基于觀察、實驗基礎上的實踐能力，是“空間觀念”最為直接的一種表現形態。進一步，《標準》指出了“空間觀念”在分析、抽象層面上的表現：
③“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形”；
④“能描述實物或幾何圖形的運動、變化”；
⑤“能采用適當的方式描述物體間的相互關系”，如向其他人描述你所見到的幾何形體等；
⑥“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀進行思考”，如能根據照片判斷拍攝照片的大致時間以解決實際問題等。
這是主動應用“空間觀念”解決實際問題意識的行為表現。
例17 舉出（或畫出）兩種不同類型的幾何體，使得兩種幾何體的左視圖都是三角形（或圓、長方形等）。
例18 下圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖.
（1）請你畫出這個幾何體的一種左視圖；
（2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數為n，
請你寫出n的所有可能值.
考查內容：幾何體與圖形之間轉換關系、作圖、表示；探索與描述幾何對象的變化規律；借助圖像進行推理等。
⑴ 圖形的認識
這一部分內容的學習重點，將不僅僅是那些特定的結論，還應當包括探索結論過程中所運用的重要數學方法。具體包括：
能估計并會比較角的大小，會進行度、分、秒之間的簡單換算。了解角的平分線、線段垂直平分線及其性質，能找出特定角的補角、余角和對頂角，理解等角的余角和補角相等，對頂角相等。在了解垂線段最短的性質基礎上，理解兩點間距離、點到直線的距離、兩條平行線間距離等概念之間的聯系。能夠選擇恰當的工具畫一條直線的垂線、平行線；知道過定點只能畫一條直線垂直于（平行于）給定直線。掌握兩條直線平行與垂直的概念，并能夠運用平行線的性質解決幾何問題。會畫出任意三角形的角平分線、中線、高、內心和外心。了解三角形中位線及其性質。掌握兩個三角形全等的條件。理解等腰三角形、直角三角形的概念及其性質。會運用勾股定理及其逆定理解決問題。了解正三角形、正多邊形的概念。了解多邊形內角和與外角和公式及其由來。掌握平行四邊形、梯形、矩形、菱形、正方形的概念和性質，了解它們之間的關系。了解線段、三角形、平行四邊形、矩形的重心及物理意義。能用三角形、四邊形或正方形進行簡單的鑲嵌設計，并理解圖形鑲嵌（密鋪）的原理。理解圓及其性質，了解弧、弦、圓心角、圓周角的關系，會計算弧長及扇形面積；了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系；知道直徑所對圓周角為直角。了解切線的概念，知道切線與過切點的半徑互相垂直，能判定直線與圓是否相切，會過圓上一點畫圓的切線。能夠完成以下基本作圖（對于尺規作圖題，會寫已知、求作和作法即可，不要求證明）：（1）作一條線段等于已知線段。（2）作一個角等于已知角。（3）作某個已知角的平分線。（4）作某條已知線段的垂直平分線。（5）已知三邊作三角形。（6）已知兩邊及其夾角作三角形。（7）已知兩角及其夾邊作三角形。（8）已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。（9）過不在同一直線上的三點作圓。
正確認識基本幾何體：直棱柱、圓柱、圓錐、球。既能夠根據基本幾何體（包括實物原型）判斷和繪制主視圖、左視圖、俯視圖，也能夠根據主視圖、左視圖、俯視圖描述基本幾何體。既了解直棱柱、圓錐、圓柱的展開圖，會計算它們的側面積和全面積，又能夠根據展開圖判斷和制作相應的立體模型。了解幾何體、三視圖、展開圖之間的關系，并能夠將這種關系應用到現實生活中。能夠繪制簡單的平面圖和立體圖，比較清晰地反映視點、視角和盲區。了解生活中中心投影和平行投影的實例，能對兩者進行區分。
例19 如圖，已知方格紙中的每個小方格都是相同的正方形，∠AOB畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點P，使點P落在∠AOB的平分線上。
考查內容：多角度、深層次理解角平分線概念，以及與角平分線概念相聯系的其它概念和原理。
⑵ 圖形與變換
作為一個學習主題，該部分的重點在于對變換現象的了解、應用（特別是在探索圖像性質過程中），而不是變換本身的性質熟悉。具體考查內容包括：
了解現實生活中的鏡面對稱現象，能找出常見的軸對稱圖形并指出對稱軸，掌握軸對稱圖形具有的基本性質，并利用軸對稱性進行圖案設計。能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形。知道等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓的軸對稱性及其相關性質。
了解現實生活中的平移現象和實例，理解平移的基本性質：對應點連線平行且相等。能按照要求作出簡單平面圖形平移后的圖形，并利用平移進行圖案設計。
了解現實生活中的旋轉現象和實例，了解平行四邊形和圓是中心對稱圖形。理解旋轉的基本性質：對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等。能按照要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，并利用旋轉進行圖案設計。
在了解比例的基本性質、線段的比、成比例線段等概念基礎上，能正確認識圖形的相似，理解相似圖形的性質，知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方。了解兩個三角形相似的概念以及相似的條件，能利用圖形的相似解決一些實際問題。了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。了解黃金分割比在建筑和藝術上的價值。
了解銳角三角函數（sinA，cosA, tanA），知道 30°，45°,60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角，并能運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。
例20．從下面兩題中任選一題進行解答：
（1） 先在上面的一塊方格紙上畫一個軸對稱圖形作為基礎圖形，再將基礎圖形去掉或添上一部分，使新圖形仍為軸對稱圖形，畫在下面的方格紙上。
（2） 先在上面的一塊方格紙上畫一個軸對稱圖形作為基礎圖形，再將基礎圖形的一部分平移或旋轉到剩余圖形的某一位置組成新的圖形，使新圖形仍為軸對稱圖形，畫在下面的方格紙上。
基礎圖形 變換圖形
考查內容：軸對稱圖形的基本性質、能按照要求作出簡單平面圖形平移（旋轉）后的圖形，利用平移（旋轉）進行圖案設計。
例21 取兩塊完全重合的正方形紙片，將上面的一塊繞正方形的中心O旋轉，那么旋轉時兩個正方形的公共部分構成一個多邊形，如圖的公共部分是一個八邊形，那么在旋轉過程中公共部分可能是七邊形嗎？說說你的理由。
考查內容：旋轉變換的基本特點，對稱現象的應用。
⑶ 圖形與坐標
這里，坐標首先是作為表達幾何對象位置（關系）的一種重要方式，它服務于培養學生空間觀念這個首要目標。其次，它還是數形結合的一個典型內容。因此，對它的考查包括：
能畫出平面直角坐標系；在給定的直角坐標系中，會根據坐標描出點的位置，或者由點的位置寫出它的坐標。能在方格紙上建立適當的直角坐標系，描述物體的位置。在同一直角坐標系中，明白圖形變換與點的坐標變化之間的關系。會用多種方式確定物體的位置。
例22 如圖，如果所在位置的坐標為（－1,－2），
所在位置的坐標為（2,－2），那么，
所在位置的坐標為 .
考查內容：能否建立適當的直角坐標系，描述物體的位置。
⑷ 圖形與證明
這一部分內容歷來是我們初中數學學習的重點，有時甚至可以說是最關鍵的部分。但是，以往的考查面則比較“窄”──基本是證明給定圖形的某個性質，或圖形之間的關系，如：圖形A是平行四邊形，圖形B與圖形C全等，等等。而《課程標準》則對此賦予了更為豐富的課程目標，如：能夠利用合情推理的方式猜測結論，等等。具體的考查內容包括：
了解證明的含義，理解證明的必要性，明白幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值。了解逆命題的概念，會區分命題的條件（題設）和結論，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。能夠通過合情推理獲得數學猜想。理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的，初步了解反證法的含義。掌握用綜合法證明的格式，能保證證明的過程步步有據。能靈活運用課程標準中規定的基本事實作為證明的依據進行幾何推理。
例23 某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形一定為正多邊形”這個命題是否成立時，進行了一些討論。甲同學在討論中提到了圓內接矩形；乙同學找來了這樣一個幾何事實：（圖一），△ABC是正三角形，＝＝，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等。丙同學認為當邊數是5時這個命題是成立的，于是他猜想邊數是7時這個命題仍然成立。
（1）你認為各內角都相等的圓內接多邊形一定是正多邊形嗎？簡要敘述你的理由。
（2）請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG（圖二）是正七邊形。
（3）根據以上探索過程，提出你的猜想（不必證明）．
圖一 圖二
考查內容：理解反例的作用，并能借助恰當的反例證明一個命題是錯誤的；同時也會用簡單的邏輯推理證明一個命題是正確的，具備初步的合情推理能力。
例24 如圖，AB=AC，D、E分別是線段AC、AB上的點，且AD=AE，BD交CE于F，試在圖中找出3對全等三角形和3個等腰三角形，并對其中一個結論給出證明。
考查內容：圖形分解與組合的技能，能否利用合情推理能力獲得合理的數學猜想，基本的證明能力。
例25 小明說，如圖，沿著三條虛線對折可以將三角形ABC的三個內角集中到D處，從而可以驗證三角形的內角和定理。你知道圖中的E、F點是如何確定的，你能利用該圖證明三角形內角和定理嗎？試寫出相應得已知、求證與證明過程。
考查內容：圖形分解與組合的技能，證明基本過程的掌握情況，基本的證明能力。
