前一段時間，盡管一直封禁在學校里面，但是也沒有閑著，主要還是忙著修改畢業論文和準備答辯事項。身邊有些朋友也相繼完成了答辯，準備或者已經完成了離校返鄉的計劃。對于我來說，讀數學不僅僅是為了一個學歷和學位，更多地是一種基于自身強烈意愿要去做的事情。今天完成了答辯PPT的制作，結合前一段時間完成的畢業論文，談談自己讀研這三年的一些感悟。
數學是一個不好讀的專業。數學問題有很多，讀碩士其實也就是三年時間，這三年時間里面可以做的問題其實不多。研究生階段不比本科階段，可以花大量的時間去讀很多參考書，實際上研究生階段更多的是要動手做問題了，主要表現在要開始看文獻，小論文只是你問題解決的一個呈現方式。
既然開始看文獻，自然就不能幾個領域里面來回跳。研究生階段還是打基礎的時候，還遠沒有達到可以融合幾個領域做跨方向研究，這樣也很難做得深。要精心看好十幾篇重要文獻，粗略閱讀幾十篇文章，從這些文獻出發尋找問題來做。
當然，研一打基礎是非常有必要的。比如，讀方程方向繞不開閱讀Evans的偏微分方程書籍。如果沒有這些基礎，讀文獻是非常吃力的。
看文獻與看書有些不同，數學書往往是記錄已經知道的東西，其內容往往是自封閉的，而數學文獻則是一步步推進的。也就是說，當看到一篇文獻看不懂，咋辦？學會追蹤溯源，看看它參考了哪些文獻。通過讀這些參考文獻，你一步步去解決你在這篇文獻中迷惑的地方。當然，很有趣的現象是，有可能追蹤來追蹤去，你發現可能這篇文章中的個別地方幾乎找不到來源。這種現象往往是，在作者看來它是非常顯然的，而你覺得不顯然，這個時候要學會把不顯然的東西轉化為顯然的東西。
當然，這個還只是說一些細節層面的。真正的價值卻在于：要看到這篇文獻到底做了什么工作，它對這一領域的發展起到了多大的作用。我們時常會陷入進紛繁復雜的細節計算中，這個就是小鎮做題家的思維了，而不是做數學的打開方式。做數學要談思想談理論的，光會計算可不行，你要知道這個定理到底說了什么事情，也就是要解決What這個問題。
如果這個問題還沒有解決，實際上懂得Why和How可能也是于事無補的。Why也就是作者為什么要去研究這個問題，How則是作者如何解決這個問題（那當然是具體的證明細節）。
知道作者解決了什么問題，非常關鍵。只可惜，大多數人讀的時候并不是很關心。
數學文章里面的一個特點就是，定理的開頭總是提出很多假設，也就是我們所說的Assumption。我們寫英文的時候，總是喜歡寫：We assume that...
假設個鬼！
到底能不能這樣假設？要多多問問自己！能不能去掉這個假設條件，這個假設條件是否是充分必要的，這個假設條件可不可以弱化一下？
諸如此類的問題都是可以思考的。舉個例子，高等數學里面的羅爾中值定理的假設條件是：
“函數在上連續，在上可導，且.
”
注意，這三個條件能不能去掉一個？為什么不能去掉，能不能舉出反例來。這個問題的答案可以回去看看同濟的高數書，那里有你想要的答案。
道理是類似的，看文獻的時候一定要多看看假設條件，這個條件不相同往往不能直接套用，切記切記！
如果你正在讀或者即將讀數學研究生，稍微聽過一些學術報告，你就會發現大家都在用LaTex。高德納老前輩開發出來的Tex系統，如此美妙，可以將數學公式用代碼的方式編譯出來，不用豈不是辜負他老人家的一番美意？
LaTex的用處除了可以用于寫作畢業論文，還可以用來制作幻燈片。因此，作為一個數學系研究生，一定要提前學習起來，讓它為我們排版做服務。Word當然是要用的，只是可以不用在這種場合之下。
不論是將來在學術會議上作報告，還是平時的討論班匯報，LaTex都是有用武之地的。
一篇畢業論文無外乎是包含摘要，緒論，理論背景，主要定理，證明過程，參考文獻等。這個摘要是一篇論文的門面，其重要性是不言而喻的。其次，很關鍵的就是所謂的緒論，至少評審專家優先看你做了什么東西。
從緒論開始，一步步引入你所做的工作。緒論往往包含：
這個文獻綜述就體現平時看文章的基本功了，能不能概括一篇文章到底做了什么，這個是非常重要的。研究背景的寫作，則體現你對這個領域的理解有多深，整體研究方向的把握有多精準。那些數學家們在這個領域里面做了哪些成果，推進到哪一步了。研究意義其實也就是做的內容到底有啥意義，能不能做一點小小的貢獻？說實話，大多數時候幾乎就是考驗你說故事的能力。
研究內容和主要結果更不必說，自己做了什么東西，如何嚴謹無誤地寫下來，也是一件不容易的事情。
其他的部分也是類似的，能否講明白自己做的數學成果。可以說，一篇好的文章需要細細推敲。
以前讀本科時候，以為數學文獻都是正確無誤的，連一個筆誤都不會犯。但說實話，當你抱有這個想法的時候，說明你還沒有開始正式讀文獻。
但凡你抱有批判性思維的時候，你深究一些文獻的細節，總歸是發現一些漏洞的。但是這些漏洞往往不是很致命的，所以不會出現撤稿的行為。但是，要相信，總歸是有一些小問題。
但這些小問題往往無傷大雅，不可因此就對一個人的學術水平產生負面評價。理想狀態下，我們總是期望寫作的東西都是完美的，做的數學也都是優美的，但理想很豐滿，現實很骨感。寫下來的時候會因為各種各樣的不可抗力因素，產生一些錯誤。只要不影響最終的結論，小問題也可以被視為零測集。
說實話，讀數學，光是讀個碩士還沒有特別大的體會的，只有真正成為研究者也許才會有更深的體會。
但是，作為一個即將畢業的數學研究生，個人感覺其實解決數學問題是非常困難的。大多數時候，我們非常理想主義，在開題答辯的時候，自信滿滿，到了中期考核降低期望，最后提交論文的時候，發現自己做了很微不足道的工作。
以前流傳這樣的故事，說的是：讀本科就是導師讓你去抓一只死羊，讀碩士就是導師告訴你這片森林里面有一只羊，讀博士就是導師告訴你森林里可能有羊，但是導師也不確定，得自己去找。
但是個人感覺，現在絕大多數讀數學碩士的狀態是：
“導師事先自己找到了這片森林里面的羊，然后先把它整的半死不活，就差最后一口氣了，然后喊你過來給它致命一擊。
”
當然，最終的情況也許是：導師在不斷地給你降低難度，以至于就是把死羊擺在你的面前。
這只羊就是最后的畢業論文了。
從小到大以來，碰到不少人跟我說自己喜歡數學，一定要做研究才能體現自己的價值。說實話，我以前也是這么認為的。但是想起來曾經有位老師說：不要假裝喜歡數學，大多數人喜歡的只是數學帶來的光環罷了。
捫心自問，你的內心是否真的喜歡研究數學？是否享受一個人孤獨探索帶來的樂趣？
認清自己，往往不是一件羞恥的事情。只是，我們總是習慣性給自己加戲。
從數學系畢業，不論是做中學老師也好，轉行去計算機和金融也罷，還是做其他行業，都很不錯。職業不分高低貴賤，自己開心就好。
總結一下，不知不覺說了近3000字，分享自己三年以來的讀研感受。文字或許喪失了邏輯性，但是意思大概就是這樣。最后一句：祝各位畢業生畢業快樂，雖然疫情讓我們心情變得陰晴不定，但我想這也是我們人生的一次磨練。
人生下來就是要吃苦的，讀數學沒準就是苦中作樂，這就是我讀研以來的最大收獲！
