在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R。

則有

即，在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦之比相等，該比值等于該三角形外接圓的直徑長度。

步驟1.

在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

a:b:c=sinA:sinB:sinC

s=1/2a x b x sinC=1/2a x c x sinB=1/2b x c x sinA

a:sinA=b:sinB=c:sinC=(a+b+c):(sinA+sinB+sinC)

在解三角形中，有以下的應用領域：

（1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形

（2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

（3）運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉換關系

直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦定理在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。

一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

一.三角形面積公式：

1.海倫公式:

設P=1/2(a+b+c)

S△=根號下P(P-a)(P-b)(P-c)

解釋:假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p為半周長：

p=(a+b+c)/2

2. S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R為外接圓半徑]

3.S△ABC=ah/2

二. 正弦定理的變形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

（條件同上）

在一個三角形中，各邊與其所對角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解似的唯一的；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩定性，所以其解不確定，可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題

(3)相關結論:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC