一、“數學分析”
“數學分析”是數學或計算專業最重要的一門課，而且是今后數學專業大部分課程的基礎，經常從一個知識點就能引申出今后的一門課，同時它也是初學時比較難的一門課。這里的“難”主要是指對數學分析思想和方法的不適應（高等數學上的方法與初等數學的方法有很大不同），其實隨著學習的深入，適應了方法后，會感覺一點一點地容易起來，比如當大四考研復習再看時會感覺輕松許多。數學系的數學分析講三個學期(各個院校應該一樣吧)，學的時間也夠長的~
本課程主要講的是以集合為基礎而發展起來的變量和函數中的數學規律、分析與計算，是通往高等數學領域的基礎工具之一。
這么多年來，國內外出現了很多非常優秀的教材和習題集以及輔導書，而且很多高校一直使用著。
【教材】
國內比較好的有(僅列出主要的，排列不分先后，下同)：
1《數學分析》(共兩冊) 華東師范大學數學系編著
這應該是師范類使用最多的書，課后習題編排的還不錯，同時這也是考研用得比較多的一本書。書的最后講了一些流形上的微積分。雖然是師范類的書，不過還是值得一看的。
2《數學分析新講》(共三冊) 張筑生著
很好的書，內容和高度在國內算得上是比較突出的。值得一提的是，張老師文筆清晰詳細，證明深入淺出，通俗易懂。這個對初學者來說非常有幫助。
本書同時也被公認為是一本具有新觀點的書，主要體現在一些經典問題處理方法上與一般的書有所不同：本書比較強調一般化，融入了一些更高的觀點，如泛函、點集拓撲等。尤其精彩的是，這本書里面提供了一些問題討論的專題附錄，如Stolz定理、正交曲線坐標系中的場論計算、二項式級數在收斂區間端點的斂散情況、布勞威爾不動點定理、斯通－維爾斯特拉斯逼近定理及其證明，等等。本書書在證明過程中通過技術化處理，降低了難度，容易被一般人理解。
遺憾的是書中沒有課后習題，又由于書寫的早，有的符號以現在的觀點來看，不是很標準(按照張老師本人的說法，北大出版社找了家根本不懂怎么印數學書的印刷廠，所以版面不是很好看)；另外感覺實數理論部分和含參數廣義積分那章的內容寫得不太全面。不過整體上本書還是瑕不掩瑜的。
張老師多年來疾病纏身，寫這本書也是嘔心瀝血，手稿前后寫了差不多五遍。像這樣身患重病卻為寫書而兢兢業業地工作，其間所需要花費的精力可謂遠非常人所能勝任的，以至于他在書的后記中也引了"都云作者癡,誰解其中味"這句曹雪芹自嘆的話。不愿看到的是，張老師最終因勞累和疾病于02年去世。這也使得張老師重新修改此書的上述缺點，完善后再出新版的愿望成為不可能，這不能不說是這本書的遺憾。
3《數學分析》(共兩冊) 李成章，黃玉民編
作者是南開大學數學系老師，本書也是“南開大學數學教學叢書”里的“數學分析”分冊，其深度與《數學分析新講》類似，每章中附有豐富的習題。還好本書關于實數完備性那幾個公理的關系寫的比較全面，多元微積分學和含參數廣義積分寫的也相當詳細（這也正好補上了《新講》的不足^_^），不過感覺級數部分還是寫得不是很詳細。
書里面有一些提高性的內容，可以看看。
4《數學分析》(第3版) 歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋著
普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。不少經濟類工科類學校也用這一本書。里面個別地方講的比較難懂，據說是用物理的觀點寫的，而且有的地方確實如果不聽老師講，你不知道它在說什么。雖然如此，許多大學都還是把它作為教材或研究生入學考試的指定用書。可以說，它是一本優點與缺點一樣突出的老教科書。
5《數學分析》(共兩冊) 陳紀修，於崇華, 金路著
考研常用指定教材。
6《數學分析教程》(共兩冊)常庚哲，史濟懷著
里面有插值與逼近初步內容，因此相對來說更適合信息與計算專業的學生。
7《數學分析》(共三冊) 徐森林，金亞東，薛春華著
感覺很清晰，不羅嗦。另外，書的符號系統和版面相當不錯。
8《高等數學引論》(共四卷) 華羅庚著
別看是“引論”，以為講的東西似乎不是什么重要的，其實這套書(也沒有完成最初的計劃)的原稿是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對科大學生開課時的講義。那時候他們是一個教授負責一屆學生的教學(另外兩位負責過一屆學生的是關肇直和吳文俊)，所以華先生的這本書里面涉及有很多方面的知識的。也是出于一種嘗試吧,華先生這書里面有一些不屬于傳統教學內容的東西，還包括一些應用，可以一讀。作為教科書來說，內容多了，因此最好作為課外興趣閱讀。
其中前三卷（冊）屬于數學分析的所有內容，第四卷（冊）主要介紹代數矩陣論的基本理論及其應用。
國外經典教材有：
9《微積分學教程》(共三卷)，《數學分析原理》(共兩卷) 菲赫金哥爾茨著
不用多說，幾乎每個對數學稍微了解一些的人都知道它的大名。書中很少涉及現在流行的集合論的觀點，但對初學者而言毫無影響，甚至使一些概念更清晰了。書的內容也相當的翔實，每本書很厚(因此也很貴，記得好像每本五十多RMB)，字號又不大。由于我們從小是學習歐美符號系統的，不習慣蘇聯的一套符號系統，看這本書還是很麻煩，并且還很貴，個人建議作為參考書來使用。其實連作者本人(莫斯科大學的教授,門下弟子無數,包括后來得諾貝爾經濟學獎的著名數學家Kantorovitch)都承認不太合適作為教材,為此他才給出了適合做教材的后一套書,這是一個精簡的版本(有所補充的是在書的最后給出了一個后續課程的簡介)。
毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數學分析內容(指不引入實變,泛函的觀念)的最高水平,考慮到在中國的印數就以十萬計,可能在世界范圍內也只有Goursat的書可以與之相比了.
10《數學分析原理》Rudin著
這本書很難，包括了基礎拓撲結構，微分形式的積分等，而且作者假設很多東西你都可以看懂，所以寫得很簡潔，對于沒有一定基礎的大一新生來說，很難讀懂書中所講。不過可以拿它來當一本不錯的《數學分析》參考，也可作為數學分析的提高用書。
11《數學分析》(共兩卷) 卓里奇著
與常見的數學分析教科書相比，本書的內容比較新穎，系統地引進了現代數學（包括泛函分析、拓撲學和現代微分幾何等）的基本概念、思想和方法，有關應用的內容也更加貼近現代自然科學。感覺還是喜歡9和10。
12《數學分析講義》 阿黑波夫，薩多夫尼奇，丘巴里闊夫著
內容與傳統教科書編排順序不同，單本的，不厚，但內容能夠滿足傳統教學需求。書中附有用于討論和示范性問題和習題。
13《數學分析》(共兩卷) Zorich著
經典英文數學教材系列之一，難度較大。
14《數學分析》Apostol(阿波斯托爾)著
本書是一部現代數學名著，內容涵蓋了初等微積分以及實變函數論和復變函數論等內容。自20世紀70年代面世以來，該書一直受到西方學術界、教育界的廣泛推崇，并被許多知名大學指定為教材。
15《微積分和數學分析引論》(共兩卷)庫朗，約翰著
又一本美國的經典數學分析書，每卷都有幾個分冊，內容還是很豐富的。有人認為書中的一些觀點現在已經不流行了，但是從“數學分析”作為數學相關專業的一門基礎課的方面來說，本書還是應該認真看看的。
【習題集】
16《吉米多維奇數學分析習題集》吉米多維奇著。
還沒有做就早聞其名的書，一看之后，確實不負其名望。應該說，這是本學分析的人都要做的習題集。不過題目有幾千道，而且其中計算題又占絕大多數，正好而且現在市面上有各種精選本，所以大家可以做一些精選本。但大家千萬要自己做，不要浮躁，不然你什么也學不到。
17《數學分析習題課教材》第一版或《數學分析解題指南》第2版 林源渠, 方企勤著
兩本書一樣的。第一版網上有電子版。后一本書在每一節中，設有內容提要、典型例題分析，以及供學生自己做的練習題等部分，書末附有答案，對證明題的大部分給出了提示或解答。本書許多題給出了多種多樣解法，某些解法是吸取學生試卷中的想法演變而得的，特別是畢業于北京大學數學系的、國內外知名的當今青年數學家們在學生階段的習題課上和各種測驗中表現出來的睿智給本書增添了不可多得的精彩。本書的另外一大特色是：輔導怎樣“答”題的同時，還通過“敲條件，舉反例”等方式引導學生如何“問”問題，就是如何給自己“提問題”。
18《數學分析中的典型問題與方法》第2版 裴禮文著
據說本書是為數學系考研量身訂做的書。書中搜集了不少考研和競賽試題，題型豐富、知識面廣、難度較大，因此對思維要求較高，適合報考偏重理論的學校（如北大、南開等等）的同學使用。第二版有1000多頁，比之第一版，更新了一些試題，提示也更詳細了。總的來說，性價比非常高。
19《數學分析習題集》林源渠，方企勤等
這本書和16的兩本成成一套。算是很老的書。
【輔導書】
20《數學分析八講》辛欽著
大師著作，多的不說，值得看！
21《數學分析：定理•問題•方法》胡適耕，姚云飛著
強烈推薦這本既可作為教材又可作為輔導書的好書。本書的重點放在特別富有啟發性的問題與方法上：結合800多道例題來說明節前的概要總結所指出的方法和技巧，你能從中學到很多。
22《數學分析原理與方法》胡適耕，張顯文著
模式跟上一本書一樣，看問題很獨到。同樣既可作為教材又可作為輔導書。很喜歡老胡的風格。
23《數學分析的理論、方法與技巧》 鄧樂斌編
重點推薦。
24《在南開大學的演講•微積分》陳省身著
很早的東西了~ 網上下載得到，不過以上那個名字我也不太確定，反正有好幾種叫法。據說好像網絡上流傳的版本少了一些內容？不知道少的是不是陳老的《微分幾何講義》。
25《數學分析內容、方法與技巧》孫清華, 孫昊著
還行，該說到的題型都說到了。
26《數學分析習題課講義》(上下兩冊)謝惠民等編
這是一位學長的評價：
這本書有些相見恨晚的感覺，其難度與于裴禮文的書相當，甚至過之，而且習題很有代表性。它適合那些挑戰北大、南開等名校的考生，就08年北大數分試題難度看，不超過此書的課后習題。本書對于諸位數分高手也是個強有力的挑戰！
當然，這本書也有點“問題”。那就是課后習題沒答案，只有提示（部分習題）。
【提高】
27《數學分析的方法及例題選講:分析學的思想、方法與技巧》徐利治著
能學到不少通常輔導書上沒有的好方法的書。這本書里面涵蓋了少量非數學分析的內容，如不等式、組合學等。并且內容比較深刻，都是分析學里面一些基本問題的深入探討，每個問題都是定理的形式陳列的，不過沒有詳細地證明。
順便提一下，徐教授的書，大多比較好，像《組合學講義》就不錯，書中是用現代集合的觀點來寫的。
28《數學分析中的問題和定理》G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)著
該書的內容非常豐富，在學習數學分析的階段,可看第一卷的前面一半,后面就全是復變的東西了。在歷史上，這是一套曾經使好幾代數學家都受益匪淺的經典著作。這套書的另一個好處就是題目難歸難,后面還是有答案或提示的.
29《數學分析問題研究與評注》汪林等編著
這本書很老了，可以到圖書館借。本書主要是作者的一些研究成果和思考總結，比較典型和有代表性，要想在扎實的基礎上更深一步，一定要看一看本書。類似的還有一本《數學分析拾遺》趙顯曾著。
30《現代分析基礎》狄多涅著
這是一套二十世紀的大家們寫的一整套教材的第一卷,用的術語相當"高深"，可能等以后學了實變、泛函再回過頭來看感覺會更好一些。
31《高等微積分》丘成桐主編
內容主要是流形上的微積分，不僅是介紹高維上的微積分，還有場里面的幾個基本公式的統一表示公式，讓你從一種高的觀點來“俯視”通常的微積分學。
這本書是邱先生為中國介紹翻譯國外精品著作而主編的“數學翻譯系列叢書”中的一部。其他的還有《基礎偏微分方程》、《分析學》、《有限群的線性表示》、《Markov過程導論》等。
這些書的觀點都比較高，書也很厚，但是不用擔心，這里有個好處就是，西方的教科書一般注重實用和理解，所以書中會有很多例子（包括圖形和特例）一步一步引出相關定理，而不是像中國的教科書，一下子就把定理（結論）都拿出來，學生難以記憶和理解推導過程。這也是國外（像美國）大學課本書比較厚的原因吧。
二、“高等數學”
將《數學分析》中較難的一部分去再加上常微分方一些最簡單的內容就是中國非數學專業的《高等數學》，或者叫“數學一•高數部分”。這里的“高等數學”不是指相對于初等數學的一個學科類的分級，而是大學的一門課程。許多人容易誤認為“高等數學”就是高等數學（即相對于初等數學來說的高深的數學領域，涵蓋的內容包括分析、代數、高幾、拓撲等各個方面）。
其實很多院校都是用自己學校的教材，我感覺都差不多，內容上只是例題大多一樣（都是一些經典的老例題嘛），習題不完全一樣而已，所以用什么課本都無關緊要。不過要注意的是，知識點不能少，符號系統要規范（便于初學者學）就行。
主要是國內的書籍。國外的多重應用，理論講的并不多。
【教材】
32《高等數學》 同濟大學應用數學系
都說同濟版的好，看過之后覺得跟其他的教材差不多，沒傳說中的那么好。其實用自己學校的教材就行。
33 鑒于很多高等數學吧吧友詢問一些書籍，這里特別說一下：
對于想學高等數學的初學者，這里給出自學高數的建議(不包括線性代數)：在有了高中數學基礎之后可以按順序看看上海交大的《微積分》、《微積分之倚天劍》和《微積分之屠龍刀》，進一步可以看看《托馬斯微積分》(很厚啊)。之后可以考慮看數分了。水平很高之后再看龔升的《微積分五講》和齊民友的《重溫微積分》。這時，主要是注重概念的深入以及高觀點下對微積分的重新審視(可以說是“全局觀”吧)，不涉及解題技巧方面的東西。
如果同時想學線性代數的，可以依次看看[65][67][54][56]。
【習題集】
這個沒有什么好說的，大多是一些輔導書后面的習題或者直接做“數學分析”的【輔導書】、【習題集】中能做的部分。
34《高等數學例題與習題集.一,一元微積分》、《高等數學例題與習題集.二,多元微積分》
И.И.利亞什科等編著
這些書屬于俄羅斯經典習題叢書系列。里面有各種題型及解題技巧。建議把全套（一、二、三、四共四本，原來是五本的，微積分相關的那三本被整合成以上兩本。剩余的兩本見下文）讀完。
【輔導書】
35《考研數學精編綜合復習指南.理工類》余長安編著 或 《數學分析的理論、方法與技巧》鄧樂斌著
前者很詳盡，題型、技巧、方法面面俱到；后者作為《數學分析》的輔導書也不錯。
36《高等數學中的若干問題解析》舒陽春編著
建議看一看。
37《高等數學學習與提高指南:考研必讀》陳鼎興, 姚奎編著
很好的輔導書。
38《高等數學內容、方法與技巧》(上下冊) 孫清華, 鄭小姣著
這個系列的輔導叢書都很好。
39 《微積分五講》龔升著
作者另有《線性代數五講》一書，與上書均為“中國科學技術大學數學教學叢書”之一。
本書主要是從現代數學以及矛盾的觀點來重新審視與認識微積分，講述了微積分的來源、微積分的三個發展階段、微積分嚴格化后地走向、微積分的主要矛盾等。尤其是用外微分形式的觀點來說清楚高維空間上微積分的主要矛盾，從而梳理微積分中的定理與公式。作為課外書看看就行。
P.S.看看上面“數學分析”中介紹的【輔導書】[20]至[22]，都是很不錯的。
【提高】
40《大學生數學競賽試題研究生入學考試難題解析選編》李心燦等。
不多說。
41《無窮級數與連分數》高建福著
可以學到級數相關的進階知識，包括漸進展開、特殊可和性等方面。
42 《項武義基礎數學講義•單元微積分學》《項武義基礎數學講義•多元微積分學》
項武義的書，應該看。
剩余可以參考“數學分析”部分寫的一些書。
三、“高等代數”
《高等代數》與《數學分析》并稱為最重要的數學基礎課程，多年來為教育界所公認。同時《高等代數》是數學系學生入學后最先接觸到的兩門專業課（另一門是《數學分析》）之一，學生從高等代數課程中所獲得的知識與方法訓練，在其后的數學學習與研究中有不可替代的作用。事實上，大學四年中遇到的幾乎所有問題最終都能轉化為分析和代數問題。
這門課在西方叫做“線性代數”（Linear Algebra），蘇聯喜歡用“高等”一詞，教材上少不了這個,既然有過學老大哥的傳統嘛，所以國內都這么學著稱呼。其實叫“線性代數”更為貼切，因為書里面研究的幾乎都是線性的理論（非線性理論那還是數學前沿研究領域，到現在也沒有很豐富的成果和進展）。
《高等代數》主要包括三部分（書本中沒有這樣劃分）：
1)多項式理論，占15%（20%）
2)線性代數(矩陣、行列式、線性方程和線性變換及一些空間理論)，占80%
非數學專業學的就是這個，名字也一樣。
3)群環域理論初步。占5%（0%）
也就是“近世代數”或叫“抽象代數初步”。在很多情況下，尤其是非師范類院校的數學系《抽象代數初步》不講，而是另外有開設一門專門的《抽象代數》的課。代數課開設兩學期，《抽象代數》開設一學期。但現在人們一般把他們看作兩門不同的課程。
整體來說，書中概念和定理比較多，相對來說也很抽象。但是熟練運用這些工具之后，你就會發現解決一些問題超級方便。
【教材】
國內的有：
43《高等代數》北京大學數學系代數與幾何教研室代數小組 王萼芳，石生明修訂
目前國內各大學尤其是綜合大學數學系廣泛采用的代數教材，有著悠久的傳統。通常使用的是第三版。也是各大學的考研指定用書。不過對基礎不好的學生在某些地方有一定的難度。講到了所有應該講的內容。
44《高等代數學》 姚慕生，吳泉水編著
本書力求將幾何直觀與代數方法有機地結合起來，使抽象的數學概念變得更容易理解。這是第二版的，第一版作者僅有姚慕生一人。
以下幾本教材是網上學長們的推薦：
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45《高等代數》張禾瑞，郝鈵新編著
被各個師范大學的數學系廣泛使用，和[43]同分天下。作者張禾瑞已經去世。
46《高等代數》(上下冊)丘維聲著
北京大學數學系94級用書，書寫的不錯。書中矩陣講得不是十分深奧，但是在空間理論,具體的說一些幾何化的思想上講得還是非常清楚的，另外多項式理論那塊也講了不少。北京大學的教學內容和重點一貫與國內其他大學的不太一樣，而且邱維聲采用了與其他教材完全不同的編排方式，所以用這本書時也許會有一些不適應。建議用來作參考書而不是教材。
47《線性代數》蔣爾雄，高錕敏，吳景琨著
名為線性代數，實際上是一本高等代數教材。是一本非常老的為當時計算數學專業編寫的書。市面上根本找不到，但各大學的藏書中肯定會有。
48《高等代數》周伯塤等
這就是在上海科技出版的一整套復旦數學系教材里講高等代數的那本.圖書館里面好像有。
這本書有80%的篇幅是講矩陣有關的理論，有大量習題。能獨立把這里面的習題做完對于理解矩陣的各種各樣的性質是非常有益的。
當然這不是很容易的----
據說屠先生退休的時候留下這么句話：“今后如果有誰開高等代數用這本書做教材,在習題上碰到麻煩的話可以來找我。”由此可見一斑。
49《高等代數學》張賢科，許甫華
插一句：目前有許多所謂的“簡明教程”或者將代數與解析幾何合在一起的課本（如《線性代數與解析幾何》），這些教材在內容編排上不是很成熟，不建議使用。
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注：以上[45]和[48]各有幾處有誤，已修正。
P.S.丘維聲的教材相配套的輔導書（習題集？）很好，只是很厚，挺恐怖的。
國外教材：
50《代數學引論》柯斯特利金著
和菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》齊名的又一蘇聯的偉大數學著作。就一本書，不是很厚，也不貴。
【習題集】
51《高等代數輔導與習題解答》或《高等代數(北大•第三版)導教•導學•導考》
類似的配套書輔導，這樣的配套輔導書有好多人寫，隨便一本都行。
52《高等代數習題集》第2版(修訂本) 法杰耶夫,索明斯基著 ; 丁壽田原譯， 項觀捷等修訂
一本老習題集，到圖書館找找。
53《線性代數習題集》普羅斯庫列柯夫編著
同上本一樣，都是前蘇聯的經典代數習題集。兩本書分別有兩千道和一千道題，做完后就不知道有什么效果了。
【輔導書】
54《高等代數:定理•問題•方法》胡適耕, 劉先忠編著
還是老胡的書，非常棒！
55《高等代數習題解》或者《高等代數精選題解》楊子胥著
題目豐富，解題技巧多多，個人推薦。楊子胥同宋寶和編著了一本《近世代數習題解》也可以作為今后參考。
56《高等代數解題方法》(第2版) 許甫華, 張賢科編著
強烈推薦！本書和[54]、[55]都是非常好的輔導書，能學到不少的東西，最主要的是比其他什么課后習題解答之類的輔導書要好多了。
【提高】
57《Linear Algebra(GTM23)》Greub著
其實這里面更多講的是線性代數，里面的有些章節還是值得一讀的。
58《矩陣論》甘特瑪赫爾著 柯召譯
矩陣研究方面的權威著作。
說到“矩陣論”，在圖書館我還經常看到一本書，那就是：
59《線性代數與矩陣論》許以超著
比較艱深，是本好書。不管怎么樣,他畢竟算是華先生的弟子的。
60《線性空間引論》葉明訓編著
武漢大學出版社的，文字符號的排版比較好，但這并不是說樣子好看內容就不行。值得看看。
61《高等代數探究性課題集》邱森, 朱林生主編
很是開拓思維，深受啟發。
62《矩陣分析及其應用》曾祥金，吳華安編著
矩陣方面做得比較好的，其中對于范數的討論比較詳細，另外還十分注重矩陣函數、矩陣微分、矩陣導數、矩陣積分等“矩陣運算”的綜合應用。
63《近世代數觀點下的高等代數》陳輝著
聞書名就能答題知其詳細內容。不過這書名倒是讓我想起另一本（三卷）有名的書《高觀點下的初等數學》。
四、“線性代數”
前面說了，非數學專業學的是《線性代數》，即《高等代數》的大部分內容。非數學專業注重的是對于行列式、矩陣的運算證明，以及矩陣的應用（線性變換、二次型等）。
【教材】
64《線性代數》李烔生，查建國編著
以前中科大的課本。可能是承襲華先生的一些傳統把,里面有一些內容的處理在國內可能書屬于相當先進的，因此比較難。
65《通俗線性代數講義》李徐鴻編著
非常容易看懂，寫得很清晰。后面附錄中還有一些探究的成果。
P.S. 同濟版的《線性代數》也可以看看。其實各院校自己用的課本都沒多大差別，不必刻意。當然，能結合《高等代數》的輔導書或是教材看看也行。
【習題集】
散見各個輔導書。
【輔導書】
66 《線性代數輔導》（第二版）胡金德、王飛燕編
非常好。
67《線性代數典型題精講》第2版 許甫華編著
和56相對應的一本書，兩本書同樣好，還是強烈推薦。
剩下參見高等代數部分。
【提高】
參見高等代數部分。
《項武義基礎數學講義•基礎代數學》可以課后翻翻看。
還有《線性代數五講》龔升編著 也可以看看。這本書討論了向量空間、線性變換，在著重研究了主理想整環上的模及其分解后，重新理解向量空間在線性算子作用下的分解。使讀者從高-個層次上來認識線性代數。
五、“解析幾何”
也叫“空間解析幾何”，其實中學階段學了大部分解析幾何的知識了，這里只是在學了《線性代數》或《高等代數》之后利用矩陣等線性代數的工具來進一步研究空間曲面和曲線的表示及其相關計算。
這門學科歷史也是很悠久的，其重要性也不言而喻：數形結合從此有了基礎；微積分因此才成為可能。從教學內容上說,它描述的主要是三維歐氏空間里面的一些幾何元素基本常識以及相關計算，重點是不變量理論。可以說，這門理論已經把宏觀宇宙空間的局部近似下的模型（歐氏空間）下的度量關系研究到極致，除非再引入新的觀點(如仿射幾何)，否則無法再深入了。
【教材】
68《解析幾何》呂根林，許子道著
經典課本。講得十分全面，有一些內容是不作要求的。
69《解析幾何》丘維聲著
可做課本。
70《空間解析幾何學》 陳[受鳥](陳季略和莊曜孚之女;陳衡哲之妹;吳大任之妻;南開大學教授）著
作者這個名字打不出來。
本書內容基本上和課本差不多。書的年代比較老了。補充一句：陳[受鳥]是中國早期留學海外的女學者之一，其丈夫吳大任是著名物理學家吳大猷先生的堂弟。
71《解析幾何學》朱鼎勛著
還是老書。非常易懂,連二維的不變量理論也在附錄里面交代得十分清楚。朱先生相當有才華,可惜英年早逝。
72《解析幾何》尤承業著
與上本差不多。
73《解析幾何》周建偉著
講得有特點。書后還講了一些射影幾何、仿射幾何等高等幾何在解析幾何中的部分應用。
【習題集】
74《解析幾何習題集》巴赫瓦洛夫著
不容易找到。
75 利用教材后的練習，以及一些輔導書后的習題。
【輔導書】
以下幾本是網上一個學長的推薦：
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76《(解析)幾何學》狄隆涅著
這套三卷本的大書包括了許多非常有意思的討論，記得五年前看的時候感覺非常有意思。這位蘇聯科學院院士真是夠能寫的。
77《解析幾何學教程》穆斯海里什維利著
具體的說特別值得參考的是它里面關于射影的一些觀點和講法(比如認為橢圓也是有漸近線的,只不過是"虛"的而已)。
78《解析幾何簡明教程》吳光磊
寫的簡單明了，當參考書看，收獲還是不少的。
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P.S. [76]里面的東西很多，還包括一些四維的表示與應用，少數《畫法幾何》里面談到了這個。總之知識點還比較全面。
【提高】
79《項武義基礎數學講義•向量幾何，解析幾何，球面幾何》
項武義基礎數學講義系列都應該看。
也可作為提高用書。
80《古典幾何學》項武義,潘養廉等
這書的內容與課本不是很一樣,不過處理方法還是很不錯的。這本書十來年前大概做過教材的。
六、“概率論”
概率學的興起最開始是源于對各種機會性游戲(如賭博)問題的研究。隨著拉普拉斯的經典概率巨著《分析概率論》的出現，古典概率學已達到一個十分完善的地步，然而不久后的彼得堡悖論帶來的對拉普拉斯的責難，啟動了現代概率學的開端。
概率學里面的問題類型十分豐富，有幾何概率、數論概率、代數概率、和統計概率，許多問題都很耐人尋味，眾多經典的問題當中有一個就是所謂“點的問題”(也就是分賭本的問題)，這個問題最初的提出者是德•梅勒。他當初問帕斯卡，后者寫信把這個問題告訴了費馬。而二者都獨自用不同的方法解決了這個問題。這個問題的解決標志著概率學的開端。實際上，所有概率問題從本質上可以分為兩類：一類所謂的“正概率”問題；另一類就是“逆概率”問題。
隨著概率學的公理化和發展，問題越來越豐富和深入，統計學和隨機過程逐漸與概率密不可分地結合起來。
【教材】
81《概率論引論》汪仁官
82《概率論基礎》李賢平
非常好的教材，基本不需要實變基礎就可讀。
83《概率論與數理統計》陳希孺編著
84《概率與統計》陳家鼎, 鄭忠國編著
極力推薦本書和[83]。
85《概率論與數理統計》盛驟，謝式千，潘承義編
浙大版的精品教材。現在一般用第三版，但我們老師說，大家都認為第二版總體上來說最好。
86《概率論》楊振明編
87《概率論教程》鐘開萊著
網上都傳這本教材不錯，沒看過，不過應該很好。
【習題集】
至于習題集，不用做太多，書上的習題很好，課后題就行了。
【提高】
88《測度論與概率論基礎》程士宏編著
適合初學者。看到“測度”一詞，順便說一下：其實很多概率問題的結果很大程度上依賴于測度（如果沒有這個，很多問題沒合理答案）。
89《概率論基礎》嚴土健, 王雋驤, 劉秀芳著
比較綜合。
90《現代概率論基礎》汪嘉岡編著
用測度理論寫的概率論。
91《分析概率論》拉普拉斯著
經典概率巨著。說到這里，想起了中國清代翻譯外國的概率著作《決疑數學》（伽羅威著），也可以看看，最好找英文本（或者白話本，如果有的話）。
92《概率論及其應用》威廉•費勒著
經典概率學教材。
93《概率， 隨機變量， 與隨機過程》 帕普里斯著
前面是針對賭博概率問題的研究，后面就進入很深奧的理論了。
94《概率論與數理統計講義•提高篇》姚孟臣編著
主要作為輔導書。
95《概率論思維論》張德然著
可作為很好的輔導書。
96《概率論思想方法的歷史研究》朱春浩編著
97《概率論的思想與方法》運懷立著
以上三本都是一些思想和方法的研究，看看很有啟發。
補充：《邏輯代數》沈小豐, 喻蘭, 沈鈺編著
用二值邏輯的定理和公式，進行邏輯運算。方便概率計算。這個在數字電路中也很有用。
七、“常微分方程”
數學專業的一門課，非數學專業在高等數學里面略微學了一點（非數學專業的在今后工作基本上夠用了）。
我把方程分為兩大類：函數方程（這個“數”不止是實數，還可以是復數、矩陣、甚至張量、四元數等等）、邏輯方程（即非傳統的數類方程）。而函數方程有可細分為代數方程、超越方程、矩陣方程、微分（積分）方程、泛函微分方程、含差分的微分方程、通常的函數方程（包括迭代在內）等。我們都知道代數方程中五次或者以上的沒有一般形式的公式解，超越方程基本只能數值求解，矩陣方程的情況和“數”的方程差不多，而通常的函數方程除了一些技巧以外，大部分只能用級數法求解。最后的微分（積分）方程也不是很樂觀，并不是都有可積的解（而且絕大多數都是不可解的）。
對于微分方程中的常微分方程，本課主要研究的是一些常見可積類型的求解法、解的定性法、數值求解、級數求解、數學變換求解、微分方程在幾何以及物理問題中的應用等。
【教材】
國內的：
98《常微分方程教程》丁同仁、李承治
國內常微分方程教材之中比較優秀的一本。內容翔實。
99《常微分方程》王高雄等
使用得很廣泛，可做課本。
100《微分方程的理論及其解法》錢偉長著
內容非常豐富，書本比較厚。只是年代比較早，但這些經典內容不會過時。
國外的：
101《常微分方程》龐特里亞金著
前蘇聯經典教材，作者是位數學奇才，因一次化學實驗事故導致雙目失明，不得已轉學數學，終成一代數學大師。
102《常微分方程》Arnol'd（阿爾諾德）著
不可不讀的書。
103《常微分方程講義》彼得羅夫斯基著
在20世紀數學史上,這位前莫斯科大學校長占據著一個非常特殊的地位.從學術上說,他在偏微那一塊有非常好的工作,五十年代谷先生去蘇聯讀學位的時候還參加過他主持的討論班.他從三十年代末開始就轉向行政工作.在他早年的學生里面有許多后來蘇共的高官,所以他就利用和這些昔日學生的關系為蘇聯數學界構筑了一個保護傘,他本人也以一個非共產黨員得以做到蘇聯最高蘇維埃主席團成員.下面將提到的那個天不怕地不怕的Arnold提起他來還是滿恭敬的.他這本書在相當長的時期里是標準教材,但是可能和性格,地位有關吧,對此書的一種評論是有學術官僚作風,講法不是非常活潑。
104《Theory of Ordinary Differnetial Equations》Coddington & Levinson
這本書自五十年代出版以來就一直被奉為歐美教材經典，內容豐富。
【習題集】
105《高等數學例題與習題集.四,常微分方程》博亞爾丘克，戈洛瓦奇編著
看過之后非常贊嘆。例題非常多，并且技巧也豐富。俄羅斯的經典習題集。
【輔導書】
106《常微分方程學習輔導與習題解答》朱思銘編
107《常微分方程內容、方法與技巧》孫清華, 李金蘭, 孫昊著
認真熟讀完[105]和以上兩本，可以說你的“常微分方程”課學得很扎實了。
【提高】
108《常微分方程續論:常微分方程的幾何方法》阿諾爾德著
非常深奧，作為長長見識翻看。
109《微分方程,線性代數和動力系統》Hirsh & Smale
表述比較“現代”，但不像蘇聯的一些“難書”那么難懂，畢竟是西方教材，注重理解。
110《常微分方程手冊》卡姆克(Kamke)編
方程類型收錄得很多，遇到難題可以查查。作者還著有《一階偏微分方程手冊》、《勒貝格-斯蒂爾吉斯積分》。
111《Handbook of exact solutions for ODEs》(《常微分方程精確解手冊》英文版) Polyanin,Zaitsev編著
收錄有幾千個方程，類型十分豐富。
112《常微分方程補充教程》尤秉禮編
就沖“補充”二字，必須看一看。
113《常微分方程專題研究》湯光宋著
里面都是作者的研究結果，大部分是一些推廣的結論和技巧。看后多少會有收獲的。
八、“偏微分方程”
還是數學專業的一門課。常微分方程式研究一元情形，那么偏微則是多元了。別看這個簡單的拓展，這個比一元的情況要難上數倍甚至數十倍（這么說也不為過），多少數學家在這個領域苦苦探索，卻得不到他們想要的結果。因為實際生活中遇到的復雜問題都是偏微情況，而偏微分方程的難度正好說明了現實的復雜性，于是大家便從牛頓時代的人們的那種認為整個宇宙模型中的事件全蘊含在一些可解（因此可以預測到未來）的方程中的“理想夢境”中醒悟過來。
雖然不簡單，但是數學家們還是有成果的，畢竟還有“級數”和“漸進”兩個有力的工具。本課同常微分方程差不多，也是先研究線性（非線性還是最難的）的一些簡單可積情形，然后轉向數值（比如有限差分）法、數學變換（拉普拉斯、傅里葉變換）求解法以及級數（包括傅里葉級數）求解法來研究一些著名的通常被稱為“數學物理方程”的偏微分方程，一些性質等。
在工程領域，這些東西極其重要。
【教材】
114《偏微分方程》陳祖墀著
115《基礎偏微分方程》 丘成桐主編 David Bleecker, George Csordas
比較詳細，美國教材嘛。
116《偏微分方程教程》華中師范大學
117《偏微分方程》Evans著
經典教材。
118《常微分方程與偏微分方程》 管志成，李俊杰編
注重兩者之間的聯系。
【習題集】
119《偏微分方程習題集》沙瑪耶夫主編
蘇聯的，有新版。
課后習題也行。
【提高】
120《Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists》
（《線性偏微分方程手冊：工程師和科學家必備》英文版）Andrei D. Polyanin編著
很好的書同[111]一樣齊名。雖然是英文，但是相信數學符號都是通用的，英文水平不是很差都能看得明白的何況有強大的網絡呢？
九、“數學物理方程”和“數學物理方法”
一般是物理專業、力學、信息等專業的課程。其內容是基本上是“偏微分方程”加上“復變函數”整合而成的一本綜合課程。“數學物理方法”相當于“工程數學”的三本（即復變函數，積分變換，場論初步）。
【教材】
121《數學物理方法》Courant-Hilbert著
經典。
122《特殊函數概論》王竹溪,郭敦仁編著
網上對本書的介紹：
有時懷疑是不是可以只對特殊函數的性質了解一些框架性的東西,具體的細節要用的時候去查書.要知道,查這本書并不是什么丟人的事情,看看揚振寧先生為該書英文版寫的序言吧:
“(70年代末)……我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的‘特殊函數概論’……從此這本書就一直在我的書架上……經常在里面尋找我需要的結論……”。
連他老先生都如此,何況我們?
本書是中國人寫的書里面足以自豪的一本，王老先生是楊振寧的老師。
123《廣義函數與數學物理方程》齊民友著
124《數學物理方程》谷超豪，李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻編著
經典教材。谷超豪教授的作品絕對好。這里插入一些網上的介紹：
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這本書在這樣一個水平上(指不引進廣義函數,弱解等泛函里面的概念)是相當不錯的.注意那些經典方程的推導里面多少有一些近似的過程,這其實從某種意義上反應了所對應的微分算子的某些性質的穩定性.比如,對于經典的波動方程,3維及以上的奇數維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經典物理的時空里面空間維數必須是奇數的一個證據),你在其它一些書(或者說以后)可以看到,差不多二階雙曲方程里面只有波動方有這樣的性質--但是別忘了,高維波動方程的推導里面是有近似的,這說明什么?
據一位北大的師兄說,和復旦的課本相比較,可能北大那邊相對更注重一些解的漸進估計等等,而復旦這里對于顯式解講得更多些.
注意在圖書館里面可以找到一本內容相當接近的書
125《數學物理方程》谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),鄭宋穆,???
這書的題材,難度,例題,習題等等和上一本非常接近.特別指出這本書的原因是在復旦的課本中據我所見,只有這本是曾經出過一本"官方的"習題解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答對于做作業是很有幫助的.
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126《數學物理方法》梁昆淼著
127《數學物理方程講義》姜禮尚
128《數學物理方程》柯朗著
【習題集】
129《數學物理方程習題集》弗拉基米洛夫編
教材后的習題都行。
【提高】
130《矢算場論札記》梁洪昌著
其實這個不關偏微分方程的事，主要是矢量和場的理論，這對物理專業很有用。結合《數學物理方程》一起使用，會對自身水平有很大幫助。
131《數學物理方程及其應用》吳小慶編著
這個我要說一說，作者有豐富的經驗。
132《數學物理方程》 張渭濱
133《數學物理方程與特殊函數》 楊奇林
134《數學物理方法》 郭玉翠
還是上一位學長的介紹：
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135《數學物理方程--方法導引》陳恕行,秦鐵虎
是一本非常好的講習題的書.里面的習題如果能夠全部做一遍的話,應付考試是綽綽有余了.
136《The Boudary Value Problems of Mathematical Physics》O A. Ladyzhenskaya
很經典.當然你要說它們陳舊我也沒話可說.
137《物理學與偏微分方程》李大潛,秦鐵虎著
還是很不錯的，該書的起點并不高,所以應該比較容易看.據說該書的責編(北大畢業的)極為負責,認真到連里面的公式都一個個去推導的地步.
從課程設置的角度上說,其實有一些深度介于本科課程和研究生的那門偏微基礎課之間的書(包括不少經典)都可以在這段時間里面看看的.
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138《積分方程》李星編著
對積分方程與代數方程、常微分方程、偏微分方程以及解析函數邊值問題的聯系作了清晰的介紹。
主要內容包含：各種第一類、第二類Fredholm型、Voherra型線性積分方程和Cauchy核（非周期核）及Hilbert核（單周期核）奇異積分方程的實用解法，還有第三類積分方程的解法；積分方程組、積分微分方程和對偶積分方程以及非線性積分方程的常用有效的解法。介紹了數值解法的過程。其中，雙周期核和雙準周期核——Weierstrass核奇異積分方程的類型以及對偶積分方程的數值解法、超奇異積分方程和超奇異積分微分方程的簡明解析解法等是全新的內容。
139《積分方程論》(修訂版) 路見可, 鐘壽國編著
本書介紹了積分方程中的Fredholm理論、特征值理論、積分變換理論和投影方法、重點是線性Fredhlom第二種方程，對第一種方程、非線性方程等。
從下一部分開始，除了“組合數學”“數值分析”“數學建模”“數學史” 以外，其他的學科我還沒系統深入地學習。因此，本來不打算寫這些不是很熟練的部分，但感覺不寫就會有缺憾，于是查閱一些網絡資料，集合我的一些淺薄經驗，來彌補空白。如果介紹不到位，還請見諒。
十、“復變函數”
把實數范圍內所學的知識推廣到復數范圍，還有一些復數方法。
【教材】
140《簡明復分析》龔升
寫的非常有特色的一本書。
141《復變函數》鐘玉泉
上面兩本是國內數學系用的最多的書，不過通常會剩下一到兩章講不完。
142《復變函數》余家榮
143《復變函數》大連理工數學系組編
基本理論的推導深入淺出、循序漸進。 強調復變量z和-z的作用，利用其實現變量和復變量之間對于各種關系和公式的互換，突出級數和積分表示方法，這兩種方法交替出現成為本書的主線。 適當增加了理論方面的知識。
【習題集與輔導書】
144《復變函數論習題集》沃爾科維斯
145《高等數學例題與習題集.三,復變函數》博亞爾丘克編著
【提高】
資料來自網絡：
146《復變函數(論)引論》普里瓦洛夫
這是我們的老師輩做學生的時候的標準課本.內容翔實,具有傳統的蘇聯標準課本的一切特征.聽說過這么一個小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大學的教授,一次期末口試(要知道,口試可比筆試難多了,無論是從教師還是從學生的角度來說),有一個學生剛走進屋子,就被當頭棒喝般地問了一句“sin z有界無界?”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”,就馬上被開回去了,實在是不幸之至.
147《解析函數論(教程?)》馬庫雪維奇
這本厚似磚頭的書比上面這本要深不少.張老師說過,以前學復變的學生用2.>做課本,學完后再看3.>,然后就可以開始做研究了.這本書的一個毛病是它喜歡用自己的一套數學史,所以象Cauchy-Riemann方程它也給換了個名字,好象是Euler-D'Alembert方程吧!
148《Complex Analysis》(復分析)L.Alfors(阿爾福斯)
這應該是用英語寫的最經典的復分析教材.Alfors是本世紀最重要的數學家之一(僅有的四個既得過Fields獎又得過Wolf獎的人物之一),單復變及相關領域正好是他的專長.他的這本課本從六十年代出第一版開始就好評如潮。有中譯本(好象是張馳譯的)，記不清了,建議還是看英文的.
這里需要說明的是,復分析在十九世紀的三位代表人物分別對應三種處理方式:
Cauchy--積分公式; Riemann--幾何化的處理; Weierstrass--冪級數方法.
這三種方法各有千秋,一半的課本多少在其中互有取舍.Alfors的書的處理可以說是相當好的.
149《解析函數論引論》H.Cartan(亨利.嘉當)
這位Bourbaki學派碩果僅存的第一代人物在二十世紀復分析的發展史上也占有很重要的地位.他在多復變領域的很多工作是開創性的.這本課本內容不是很深,從處理方法上可以算是Bourbaki學派的上程之作
(無論如何比那套"數學原理"好念多了:-))
偶記得國內的復變教材還有北大莊圻泰的《復變函數》, 不記得是不是和張南岳合寫的。應該是不錯的， 習題較多。科大嚴鎮軍也有一本《復變函數》也不錯。其他的復變書都大同小異，偶還記得有本鐘玉泉的館藏拷貝最多。
在不牽涉到復流形理論和多復變的情況下,還有
150《復變函數論(專題?)選講》莊圻泰,何育瓚等
應該有兩本,比較薄,從Cauchy積分公式的同倫,同調形式講起,屬提高性質。另外一本記憶中就覺得太專門了點。
十一、“實變函數”
是不是感覺數學分析里面的黎曼積分的適用范圍不廣？初等的概率論學得不爽？那么這個繼“數學分析”之后的更深入的理論，會讓你有種全新的觀點看待問題。
【教材】
151《實變函數論》周民強
一本非常好的書，比較難懂。寫法比較獨特。
152《實變函數與泛函分析》夏道行，伍卓人，嚴紹宗，舒五昌
從上世紀八十年代(1978年第一版出版)我國數學系的標準實變與泛函課本,受益于此書的學生不可勝數。強烈推薦這本和上一本。
153《實變函數》江澤堅，吳志泉
初學實變推薦。
154《實變函數論》那湯松著
155《實分析》程民德,鄧東皋著
【習題集與輔導書】
156《實變函數與泛函分析:定理•方法•問題》胡適耕，劉金山編著
157《實變函數論的定理與習題》鄂強著
158《實變函數內容、方法與技巧》孫清華，孫昊著
以上三本必看。
159《實變函數論習題集》捷利亞科夫斯基
不知是否能找到。
160《實變函數論的定理與習題》
記不清是誰寫的了,好像某個蘇聯人。里面有詳細的解答,質量相當高。
【提高】
161《實分析中的反例》汪林著
這是本非常非常好的書,在以后的幾章里面我們也都要引用這本書.作者是程民德先生的弟子.要記住的是,這不僅僅是一本講例子的書!
P.S. [165]也不錯。
十二、“泛函分析”
所謂“泛函”，即函數的函數，也可以算得上是一種廣義函數吧。
屬于分析課程的一個旁支。歐拉等人的建立的基礎，主要解決極值問題，引出“變分法”。
【教材】
162《泛函分析講義》張恭慶著
163《實變函數與泛函分析》夏道行著
很好的書，再推薦一次，雖然有點厚。
164《實變函數與泛函分析概要》鄭維行著
165《實變函數與泛函分析》郭大鈞等編
【習題集與輔導書】
165《泛函分析習題集及解答》(印度)V.K.Krishnan著
印度數學家編寫的,有中譯本。
166《函數論與泛函分析初步》柯爾莫哥洛夫著
好好看完會有收獲。大師的經典名著，包括了實變函數，泛函分析，變分等各方面的內容。
167《泛函分析疑難分析與解題方法》孫清華，孫昊著
168《泛函分析內容、方法與技巧》孫清華, 侯謙民, 孫昊著
P.S. 強烈推薦[156]。另外下面這三本如果能找到，可以翻翻：
《泛函分析概要》劉斯鐵爾尼克、索伯列夫
《泛函分析習題集》安托涅維奇
《泛函分析理論習題解答》克里洛夫
【提高】
169《泛函分析中的反例》汪林著
170《泛函分析新講》定光桂著
171《泛函分析第二教程》夏道行,嚴紹宗,舒五昌,童裕孫著
在直線(或者更一般的局部緊群上),先建立積分理論再導出測度的。
172《Functional Analysis》W. Rudin著
這本書里面也有很多非常有意思的內容。Rudin的書都是很好的。
173《泛函分析:理論和應用:theorie et applications》Haim Brezis著
十三、“高等幾何”
脫離歐幾里得幾何觀，眼界大開。又增添了不少幾何的數學方法。
【教材】
174《高等幾何》梅向明等編
仿射坐標與仿射變換；射影平面；射影變換與射影坐標；變換群與幾何學；二次曲線的射影理論；二次曲線的仿射性質和度量性質；一般體(域)上的射影幾何；一般體(域)上的仿射幾何；實數域上的歐氏幾何；幾何公理體系。
175《高等幾何學習指導與習題選解》梅向明，劉增賢編
176《高等幾何》第2版 羅崇善, 龐朝陽, 田玉屏編著
177《高等幾何》周建偉編著
本書以變換群的觀點為指導思想，以一些重要定理為主線，介紹了平面射影幾何的基本知識，努力展示射影、歐氏、仿射、雙曲、橢圓等多種幾何的豐富內容和內在聯系。
十四、“微分幾何”
把微積分應用到研究幾何曲線（面）的性質上，得到微觀的信息，從而能把握整體上的性質。
“微分幾何”有“局部微分幾何”和“整體微分幾何”兩種。
【教材】
178《微分幾何》第4版 梅向明, 黃敬之編
179《微分幾何初步》 陳維桓著
180《微分幾何》彭家貴著
181《微分幾何》周建偉著
182《微分幾何》蘇步青,胡和生等編著
這書寫得不錯,至少比北大陳維桓的那本《微分幾何初步》要好多了。
183《微分幾何》 蘇步青 原著 姜國英 改寫
就是那本黃顏色封面的。
這本書的原版據說晦澀難懂，但即使改寫以后，根據潘老師的講法，看起來也比較費勁。印象比較深的有，書中單獨的一節講了Bertrand曲線，對于等周問題，該書也給出了好幾種不同的證法。（最近的幾期美國數學月刊里，對于該問題也集中給出了幾個比較初等的證明和若干相關命題）另外，該書的一個特色是幾乎每道練習題都附有最先證明該命題的人名和時間。使人能夠感受到微分幾何發展的脈搏。
184《微分幾何》陳省身
陳省身就是搞微分幾何而著名的，應該讀讀。
185《微分幾何講義》吳大任
【習題集與輔導書】
186《微分幾何100例》姜國英,黃宣國
確實是一本很好的書，這本書很薄，里面的題目全部做下來的話，應付期末考試絕對是沒有問題的。而且,如果老師有心考點難題的話,說不定就會有里面的題目。不過提醒一點的是，在看解答的時候最好先自己想一想，因為書中有些題目的解法并不是最簡潔的。
187《微分幾何習題集》楊文茂,傅朝金,程新躍編著
188《微分幾何理論與習題》里普希茨
189《微分幾何學習指導與習題選解》梅向明，王匯淳編
【提高】
190《Differential Geometry of Curves and Surfaces》
這是本絕對的好書，有中譯本。
191《微分幾何五講》蘇步青著
192《微分幾何講義》丘成桐，孫理察著
193《微分幾何入門與廣義相對論》梁燦彬，周彬著
本來是物理專業用的，可以看看。
十五、“拓撲學”
拓撲學是在十九世紀末興起，并在二十世紀中蓬勃發展的數學分支，現在已與近世代數，近世分析共同成為當代數學理論的三大支柱。
資料選自網絡：
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194《拓撲學》李元熹,張國(木梁)
前兩章還是不錯的.至少該講的東西都講了,而且后面羅列(我想不出還有什么更好的形容詞)了許多習題,做上一遍是很有趣的一項工作.
195《基礎拓撲學》尤承業
是北大的教材.
196《Lecture notes on elementary topology and geometry》 I.M.Singer, J.A.Thorp
(中譯本“基礎?幾何學與拓撲學講義”,干丹巖譯)
這是本極好的教材,應該可以用深入淺出來形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起證指標定理的那位,說是重量級人物當無疑義.
【輔導書】
197《點集拓撲講義》熊金城
是比較好的.該書也有些名氣.
不過要好好學,可能還是看下面的兩本比較經典的書:
198《General Topology》(GTM 27)J.L. Kelley
此書名頭很響,55年出版的時候應該算得上是把這一領域里面的結果做了個好的總結.該書是想寫成課本的,因此每章后面都有習題,按A,B,C,D,...編號.只是真要做起來未免有些困難.聽說過這樣一個故事,就是曾有一位華裔數學家回國講學的時候于酒席間說他的老師要他去學拓撲,指明看Kelley的書,而且要習題全做.結果大家都笑了,因為大家都明白這目標不是很現實.不過在陷入各類考試的重圍中的那個學期之前,做前面兩三章的題目，雖然比較困難,但是做起來也是非常有趣的.
【習題集】
199《點集拓撲學題解與反例》陳肇姜
200《幾何學與拓撲學習題集》巴茲列夫
忽視幾何,包括解析幾何，微分幾何，拓撲學，會后悔的。
【提高】
201《General Topology》R.Engelking
這書是七十年代末寫的,內容翔實,至少來說是有包羅萬象的感覺,當然對做這一塊的人就不一定了.這里屬于代數拓撲的起始部分,參考書一下子就比前面的多多了.講代數拓撲的書,可能
202《Lectures on Algebraic Topology》Greenberg
屬于寫得很通俗易懂,配置合理的那一類.
203《拓撲學奇趣》巴爾佳斯基 葉弗來莫維契 合著
這本書只有不到兩百頁，可是覆蓋的面很廣，也有一定數量的有啟發性的題目。
204《基礎拓撲學》 M.A.Armstrong
也是一本不錯的書。
該書中的討論有很多是基于Hausdorff空間，有些是甚至是在度量空間里討論問題的，所以一些定理的證明就變的比較簡單易懂，例如Urysohn引理。
十六、“近世代數”
部分關鍵詞：群、環、域、模等等。這門學科是從群論開始發展起來的，內容相當豐富，方向也多。不過我是不怎么感興趣。有意思的是，我們高數老師曾經讀的是這個方面的研究生，當然，他是搞密碼學的。
【教材】
205《近世代數引論》馮克勤
206《代數學》(上,下) 莫宗堅
北大數學叢書里面的一本,沒有很仔細地看過,但是感覺不錯。北大的一些同學對此書推崇倍至。
207 《近世代數》熊全淹
這本書的好壞不敢評論,不過這本書有個很大的特點,就是作者收集了很多小文章,比如許多American Mathematical Monthly上的短文.依他開列的參考文獻到系資料室去找,可以看到很多有趣的東西。
208《近世代數》盛德成
209《代數學引論》丁石孫，聶靈沼
這本書的特點和北大的那本《高等代數》一樣,就是沒什么自己的特色,原因是這本書從體例到習題在很大程度上參考了。
【習題集】
210《抽象代數--方法導引》徐誠浩
這本書可以說比較適合在復旦學這門課.
【提高】
211《Algebra》S.Lang
Lang寫書以清晰著稱,他的這本書還得過AMS發的Steel優秀圖書獎.
其它的就是比較專門的東西了，比如群論就有影響過無數學者的。再有像(群,代數)表示論,環論,模論等等，都有專著。
對于Galois理論,有一本
212《伽羅華理論》E.Artin
非常薄,講得很精彩,絕對是本傳世佳作.
十七、“離散數學”
一般是計算機或信息專業的課程。不同課本可能內容不一樣，無非就是圖論、拓撲、組合（包括組合設計、組合計數）、數理邏輯、數值分析、集•合論、數論、抽象代數、算法分析等，這些范疇當中的幾個綜合在一起的一門課程。
建議分開學
213《基礎集合論》北師大
214《面向計算機科學的數理邏輯》陸鐘萬
215《圖論及其算法》王樹禾
216《圖論及其應用》Bondy ，Murty
217《離散數學》耿素云，屈婉玲
課外可看看：
218《具體數學》格拉厄姆，高德納等
219《Introduction to Algorithms》 Corman
十八、“組合數學”
分為組合計數和組合設計兩個方面，以計數為重。
下面推薦基本我看過覺得比較好的幾本：
220《近代組合學》王天明編著
符號系統用的是集合、代數的，比較高等，但是內容全面，尤其是習題很好。
221《組合學筆記》康慶德著
感覺看不習慣本書的符號系統。不過內容還是不錯。
222《組合學講義》李喬著
經典教材。
其實還有像圖靈數學里面有些組合學的書不錯，各種教材差別比較大，有的書很詳細另外的卻深奧。另外還有組合設計方面的就不說了。
十九、“數值分析”
計算數學方向傳統的科目是數值逼近，數值代數，數值優化，微分方程數值解法。數值逼近，數值代數，微分方程數值解法合稱數值分析，數值優化和運籌學有點像。
比較好的書有：
223《數值分析基礎》關治，陸金甫著
很全面，除了沒有偏微分方程的數值解這個內容外，其他該有的都有。
224《數值分析》李慶揚，王能超，易大義
應用數學專業好像都是用這本。
225《數值方法》關治，陸金甫編著
226《數值分析方法》奚梅成
227《數值計算方法》林成森
228《數值分析:mathematics of scientific computing》(美)David Kincaid，Ward Cheney著
229《計算方法典型例題分析》孫志忠編著
我買了一本，還不錯。
二十、“數學建模”
數學建模是數學應用在實際問題中最為鮮明的例子，不過用用到很多知識，包括基本的數學分析知識，還有邏輯、優化（運籌）、圖論、數值、線性代數（含矩陣）、方程（代數、超越、（偏）微分等方程）、概率統計、組合計數、組合設計，等等。有不少書，但都是案例教學，看起來不像其他課那么嚴密有數學味。不過也有教的很系統的（由于要用到的知識多，因此只能是大略介紹，不可能詳細）。
下面是我看過的覺得比較好的幾本：
230《數學建模與數學實驗.第3版》趙靜, 但琦主編
231《數學建模及其基礎知識詳解》王文波編著
232《數學建模方法及其應用》韓中庚編著
233《數學建模》Maurice D. Weir, (美) William P. Fox著
二十一、“數學史”
研究歷史，就能總結經驗，從而指導和警示正在做研究的人們。另外，這些歷史也是一些有趣的故事，不斷地吸引著那些欲探求數學密境的求知者們……
下面是我看過的一些覺得比較好的（其中有一些書是專門論述中國古代算學，天文算學，還有中西方比較，以及中國古代數學思想方法的，這些屬于數學專門范疇，故不列）：
234《數學史通論》VICTOR J.KATZ（凱茲）著
很詳細。
235《世界數學通史》梁宗巨著
書比[234]要厚，比較全面。作者未完成著作便離開人世了，后由其學生幫助完成剩下的一點。
236《數學史》斯科特著
買了一本，作者（包括譯者）文筆不錯。
237《數學史》朱家生著
238《數學史概論》李文林著
239《數學簡史》張紅主編
240《數學演義》王樹禾著
以故事形式來寫的。
其實數學整個學科涵蓋面非常廣泛(類似諸多專門課題領域、交叉學科領域、學科邊緣領域等等)，以上只是盡量給出一些最常見的。剩余還有很多：數理邏輯、數論、運籌學、算法分析、密碼學……隨著學習的深入，你會不斷地去了解和接觸到越來越多的方面。
附錄 數學軟件
列出最常見的：
1 matlab
以數值計算見長，工程人員的必備工具。不過看起來軟件功能的優化速度遠遠超過硬件廠商的“升級”速度——最新版的matlab在中上等配置的機器上進行大量數據運時還不是十分流暢。
一般數學建模都是用這個。
2 maple
以符號運算見長。數學理論推導的好幫手。不過界面不怎么好看(誰在乎呢？只要實用就行)。
3 mathematic
[1]和[2]優點的結合品，一般用于“數學實驗”部分的教學。雖然是結合品，但單一功能(無論是數值還是符號計算)肯定不如相應的專長軟件。
4 scilab
中法合作的開源、免費數學軟件。很多科學家都用這個，有事小有名氣。
5 其他專門軟件像SARS SPSS等。
經濟專業的學生可能會用到這些數值擬合等數據分析的軟件。
6 Microsoft Math
微軟出的一款數學軟件，功能足夠大學中低年級以下的人員使用，比較方便。不過沒以上幾個有名。
其他的還有很多，就先說這些吧。會用一些軟件，在今后的學習中會感到很方便。
后記
這篇貼子花費了我不少心思，實際上文章初稿在二月份就出來了(當時也貼了出來一部分)，只不過總感覺不是很完善（便刪除了原貼），于是幾經修改，最終定稿后才發出來。之所以這樣，為的就是能讓讀者得到更好的指引或者參考吧，如果真能起到一點作用的話，那也就完成了我的寫作初衷。
文章中有些已注明來自網絡的的引用部分，原網址不可查，這里感謝原作者！
正文中提到的書目都是一些選擇經典和有代表性的，限于文字和筆者水平，難免掛一漏。萬歡迎各位老師、學長以及朋友們不吝賜教，使更多人受益。
失落的記憶sea
2010.4
