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第一部分  常用數(shù)學思想專題研究

中考專題復習之一：配方法與換元法 

一、配方法與換元法的特點：

配方法與換元法是初中數(shù)學中的重要方法，近幾年的中考題中常常涉及。有時題中指定用配方法或換元法求解，而更多的則是隱含在題目當中，在分析題意的基礎上，由考生自己確定選用配方法或換元法，把代數(shù)式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以達到快速解題的目的，這是種快捷也是很有效的方法，在初中代數(shù)中，占有很重要的地位和份量。

二、配方法與換元法的方法：

配方法與換元法主要依據(jù)完全平方公式，由公式a²±2ab+b²=(a±b)²可知，如果一個多項式能夠表達成“兩個數(shù)的平方和，加上或減去這兩個數(shù)的積的2倍，則這個多項式就可以寫成這兩個數(shù)的和或差的平方。”由完全平方式的性質(zhì)可知，任何一個實數(shù)的平方都是非負數(shù)，即(a-b)²≥0，當a=b時，(a-b)²=0。利用這條性質(zhì)，并可以解決很多與之有聯(lián)系的數(shù)學問題。

而配方法一般有兩種形式，一是根據(jù)第一項和第二項的系數(shù)特點，確定第三項系數(shù)或常數(shù)項。如二次三項式4 x²+6x+k是完全平方式，試確定k值。這一類的問題只有一解。而更多的是由第一項和第三項的系數(shù)特點，確定第二項的系數(shù)。如二次三項式4x²+kxy+25 y²是完全平方式，試確定k值。這一類問題一定要考慮正、負值兩種情況，結果應為兩解才為正確，這一點為不少考生所忽視，一定要考慮周到方可取得好成績。

三、例題精講：

例1： 分解因式： ．

分析：四項式的分解因式需要進行適當?shù)姆纸M，分組的原則是：首先看有沒有能夠構成完全平方的項，然后看看有沒有能夠構成平方差的項，最后看有沒有公因式．本題前三項能夠構成完全平方，所以它們應該分成一組，即：，然后做平方差．

解答：

例2、已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且a²+b²+c²=ab+bc+ac，試判斷△ABC的形狀。

分析。將等式兩邊同時乘以2,移項得：2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a²-2ab+b²）+( b²-2bc+c² )+( a²-2ac+c² ) =0，由此(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0,得 a=b=c  故△ABC為等邊三角形。

例3、已知：a、b為實數(shù)，且a²+4b²－2a+4b+2=0，求4a²－的值。

分析：利用數(shù)學的化歸思想，將等式左邊的多項式折項配方，（a²－2a+1）+（4b²+4b+1）=0，得（a-1）²+(2b+1)²=0，分別求得a=1，b= -1/2，代入代數(shù)式即可。答案是6。

例4、求證：不論m、n為任何實數(shù)，關于x的一元二次方程mx²＋(m＋2n)x+2n=0總有兩個實數(shù)根。

分析：由一元二次方程根的判別式可知，△=b²-4ac=(m＋2n)²－4m·2n,   展開后配方得，△=(m－2n)²≥0，故結論正確。

例5、（技巧題）甲、乙兩人同時從A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路程用速度b；乙前一半時間用速度a，后一半時間用速度b，問哪個先到？

分析：設A、B兩地距離為S，甲從A到B所用時間為t₁，乙從A到B所用時間t₂,分別用S、a、b表示出t₁、t₂，t₁=(a+b)S/2ab，t₂=2S/a+b，t₁- t₂=〔(a+b)²-4ab〕/2ab(a+b)，配方得，t₁- t₂=(a-b)²S/2ab(a+b),因為a、b均為正數(shù)，再利用一個數(shù)的平方為非負數(shù)這個結論，得t₁- t₂＞0，得結論為乙先到；當a=b時，兩人同時到。

例6：⑴已知M為△ABC的邊AB上的點，且AM²+BM²+CM²=2AM+2BM+2CM－3，則AC²+BC²=                。⑵已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且a²+b²+c²=ab+bc+ac，則△ABC的形狀為                 。

分析：（1）移項得（AM² -2AM +1）+（BM² -2BM+1）+（CM²-2CM-1）=0，得

（AM-1）²+（BM-1）²+（CM-1）²=0，∴AM=BM=CM=1，故△ABC 是直角三角形，則AC²+BC²= AB²=4。(2)將等式兩邊同時乘以2,移項得：2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a²-2ab+b²）+( b²-2bc+c² )+( a²-2ac+c² ) =0，由此(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0,得 a=b=c  故△ABC為等邊三角形。

例7、解方程：

分析：設x+1/x=y，原方程配方為   2【（x+1/x）²-2】-9(x+1/x)+14=0,

2（x+1/x）²-9(x+1/x)+10=0，由原方程為：2y²-9y+10=0,  解之得y=2或5/2。當y=2時，即x+1/x=2，解得x₁=x₂=1；當y=5/2時，即x+1/x=5/2，解得x₃=2，x₄=1/2，經(jīng)檢驗，x₁=x₂=1，x₃=2，x₄=1/2都符合題意，都是原方程的解。

例8：關于x的方程x²－(2a－1)x+(a－3)=0。

⑴求證：無論a為任何實數(shù)該方程總有兩個不等實數(shù)根；

⑵以該方程的兩根為一直角三角形的兩直角邊長，已知該三角形斜邊上的中線長為 ，求實數(shù)a的值。

分析：（1）由一元二次方程根的判別式可知，△=(2a-1)²-4(a-3),   展開后配方得，

△=4(a-1) ²+9＞0，得結論。（2）設方程的兩根分別為x₁、x₂ ，則有x₁+x₂=2a-1  ①，x₁x₂= a-3 ②，又∵x₁、x₂為一直角三角形的兩直角邊長，且該三角形斜邊上的中線長為，∴x₁²+x₂²=35  ③，將①式兩邊平方得x₁²+2 x₁x₂+x₂²=（2a-1）²，將 ②③代入得2 a²-3a-14=0，解之得a=-2或7/2，當a= -2時不符合題意，應舍去，故a=7/2。

例9：已知二次函數(shù)y = ( k－1)x ²－2kx +k +2，（1）當k為何值時，圖象的頂點在坐標軸上？（2）當k為何值時，圖象與x軸的兩交點間的距離為2 ？

    分析：（1）由二次函數(shù)性質(zhì)可知，圖像的頂點坐標為（b/2a，4ac－b²/4ac）由題意得

b/2a=0或4ac－b²/4ac=0，即  由－2k/2 ( k－1)=0得 k=0；由【4 ( k－1)（k +2）－（－2k）²】÷ 4 ( k－1)（k +2）=0得k=2。（2）設圖象與x軸的兩交點坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），則有x₁＋x₂=2k/ ( k－1) ①，x₁·x₂= k +2/ ( k－1) ②，由題意得︱x₁－x₂︱=2 ，∴（x₁－x₂）²=8，配方得（x₁＋x₂）²-4x₁x₂=8 ③，將①②代入③并解之得k=0或3/2。

四、闖關奪冠：

1．已知x²+y²+4x－2y+5=0，則3x-2y ^-2的值是          。

2．已知M=x²－8x+22，N=－x²+6x－3，則M、N的大小關系為              。

3、若x+1/x=2,則x-1/x=___________。

4．用配方法把二次函數(shù)y=2x²+3x+1寫成y=a(x+m)²+k的形式                 。

5．設方程x²+2x－1=0的兩實根為x₁，x₂，則（x₁－x₂）²=            。

6．將二次三項式x²+2x－2進行配方，其結果為                    。

7、（08上海）用換元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2時，如果設2x-1/x=y，并將原方程化為關于y的整式方程，那么這個方程為_____________。

8．已知方程x²－kx+k=0的兩根平方和為3，則k的值為               。

9．若x、y為實數(shù)，且的值等于          。

10．代數(shù)式a²+5b^2-4ab+2b+100的最小值為_{——————————}。

11、不論m、n為何值，代數(shù)式m²+n²-2m+4n+5的值總是                      （     ）

A 非負數(shù)    B 正數(shù)    C 負數(shù)    D 0

12、設y= 變?yōu)?nbsp;                        (     )

A． 2y² – 7y+3=0.         B．2y² – 7y=0 .    

C．2 ² – 7 +3=0.        D．2y² – 7y+1=0.

13、已知關于x的方程 的兩個實數(shù) 、 滿足，則a的值為                                                                （     ）

        A．－3      B .－3，1       C.3，－1       D.1

14、已知一個四邊形ABCD的邊長分別為a、b、c、d，其中a、c為對邊，且a²+b²+c²+d²=2ac+2bd，則四邊形是                                                           （     ） 

        A 任意四邊形；        B 梯形；                               

C 平行四邊形；        D 對角線互相垂直的四邊形；

15、對于分式1/x²-2x+m，不論x 取何實數(shù)都有意義，則m的取值范圍為       （     ）

A  m≥1，    B  m≤1，    C  m＞1，    D  m＜1

16、若a、b、c是三角形的三邊長，則代數(shù)式a² –2ab+b² –c²的值            （       ）

      A 大于零     B 等于零      C 小于零     D 不能確定

17、若2x²－kx+9是一個完全平方式，求k的值.

18、已知：菱形的兩條對角線長之和為2+2 ，菱形的面積為2 ，求菱形的周長。

19．解方程：（1）2x²-6x+3=0(配方法)      （2）

20、已知拋物線經(jīng)過點A（2，4）和點B（－1，－8），且在x軸上截得的線段長為3，

求拋物線的解析式。

21、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代數(shù)式a²+b²+c²-ac-bc-ca的值。

22、試判斷2005×2006×2007×2008+1是否是一個完全平方數(shù)。

23、已知：△ABC的三這分別為a、b、c，且滿足等式3(a²+b²+c²)=(a+b+c)²，試說明該三角形是等邊三角形。

24、已知 ， ，則 的值.

25、已知x₁、x₂是關于x的方程x²-6x+k=0的兩個實數(shù)根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115，

（1）求k的值；（2）求x₁²+x₂²+8的值.

26、用換元法解方程：

27、觀察下列各式的特點，并回答下列問題：

（1）用＞、=、＜填空： 3²+4²_————2×3×4，（-1）²+8²_————2×（-1）×8，

（-3）²+（-5）²_{—————}2×（-3）×（-5），（-6）²+（-6）²_{——————}2×（-6）×（-6）

（2）若a、b為實數(shù)，則a²+b²、2ab的大小關系為a²+b²_{_______}2ab，并證明其正確。

28、已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過 ，對稱軸 ，拋物線與 軸兩交點距離為4，求這個二次函數(shù)的解析式？