14. 楊振寧的貢獻
1949年春天，楊振寧（Chen-NingFranklin Yang，1922年-）從芝加哥前往普林斯頓高等研究院作研究。之后，創立電磁場規范理論的赫爾曼·外爾從高等研究院退休離開了普林斯頓，楊振寧搬進了外爾的舊居，并成為高等研究院的永久成員，按照戴森的說法，他接替外爾的位置，成為理論物理界的一只領頭鳥【1】。
楊振寧不僅接租了外爾的房子，接替了外爾理論物理界的位置，更具體地，還將他在規范理論方面的工作作了一個漂亮的推廣。
將我們在第3節所介紹過的外爾的電磁規范理論復習一下，我們會發現，規范場理論的最迷人之處是在于它可以僅僅從對稱性出發，自然地從數學上引入電磁場。上述說法使人迷惑，因為凡是學過初中物理的人都知道，人類對電磁現象的認識是從諸多自然現象開始的，富蘭克林的雷電實驗、法拉第的電磁感應、麥克斯韋的理論綜合、一直到赫茲發現電磁波，一個接一個的科學家，對電磁相互作用作出了貢獻，你現在怎么說，電磁波這種物理現象，可以從與數學有關的對稱性而“得到”呢？
別著急，上面說法的大概思路如下。
根據外爾的規范變換理論，量子力學中薛定諤方程（或狄拉克方程）的解，也就是電子滿足的波函數，相位是不確定的，可以將整個波函數乘以一個任意的常數相因子eiqθ而得到同樣的物理效果，即帶電粒子的系統具有某種整體規范對稱性。從諾特定理可知，某種對稱性對應于某種守恒定律，帶電粒子波函數的相因子規范對稱性對應于電荷q守恒。
整體規范不變性表現在系統的拉格朗日量在某種對稱變化下不變。例如，在第四節最后，曾經設自由標量場的拉格朗日量形式為：
￡= (1/2)(?f *?f) – (1/2)m2 (f*f)2。 （14-1）
將變換f→ eiqθf，代入上面的拉格朗日量表達式中，很容易看出這個變換將保持（14-1）不變，因為復數場乘以其共軛函數使得變換中的相因子互相抵消了。這說明以上拉格朗日量是整體規范不變的。
具有整體規范對稱的系統，是否也能有“局域”規范不變呢？局域的意思是說，相因子中的θ是時空位置的函數（寫成θ(x)，x表示四維時空坐標）。這時，場的變換相因子不再是一個整體的常數，而是每個時空點都不一樣的函數。從（14-1）可知，第二項仍然將保持規范不變，但第一項因為包含了微分的原因便不再是規范不變的了。（實際上，局域概念來自于黎曼幾何，因此也可以說，規范局部不變性實際上是廣義相對論等效原理的一個推廣。）
既然問題是出在微分算符上，我們將微分算符?的定義稍微做點改變（相當于協變導數D）：
Dx = ?x + q A(x)。 （14-2）
這兒引進了一個新的四維矢量場A(x)，即規范場。規范變換中，場A(x)和場f一同變換：
f→ eiqθ(x)f， （14-3）
A→ A? iq?θ(x)。 （14-4）
對于場A(x)和場f共同組成的系統，新的拉格朗日量：
￡= (1/2)(Df *Df) – (1/2)m2 (f*f) + ￡A （14-5）
將在局域規范變換（14-3，14-4）下保持不變。
新引進的規范場A(x)與場f的相互作用表現在協變導數D的定義（14-2）之中。除此之外，A(x)對拉格朗日量還應該有相應的獨立貢獻，因此在公式（14-5）中加上了僅僅與A(x)有關的一項：￡A。拉格朗日量中場的貢獻總是與場（或場的1階導數）的平方有關。此外，考慮洛倫茨變換不變的條件，公式（14-5）中的￡A可表示為：
如果將矢量場A(x)看作是電磁場的四維矢量勢的話，上面公式中的Fmn是四維電磁場張量，其分量由磁場B和電場E的分量組成。
從以上的推導過程可見，矢量場A(x)是為了保證電荷守恒的局域對稱性，使得帶電粒子場的拉格朗日量在對稱變換下保持不變而引進的一種數學形式，一開始似乎并沒有任何物理意義，我們將它“看作”是電磁勢，只是因為它正好和我們已經熟知的電磁作用性質一樣。并且，從A(x)的拉格朗日表達式￡A，可以用最小作用量原理，應用變分法，推導出場的運動方程，它們將等效于麥克斯韋方程組。再進一步，諸如庫侖定律、法拉第定律這些實驗規律都可以被推導出來。所以，以規范變換的觀點，電磁場不是首先作為一個物理實在而引入，卻是從系統對稱性出發。成為滿足與電荷守恒相關的U(1)對稱性而導致的一個必然結果。
這就是數學之美，理論物理之美。這種美迷住了外爾，也吸引了華裔物理學家-楊振寧。
外爾一生珍愛他工作中的兩樣東西：規范場和非阿貝爾李群，這兩個領域也正好是年輕楊振寧的興趣所在。楊振寧到芝加哥后，從泡利的關于規范不變性的綜合報告中，更深入地了解到電荷守恒與規范不變之間的深刻聯系，楊振寧后來在回憶中將外爾規范場稱為當時“理論中的一組美妙的旋律”【2】，并想把這個理論推廣到同位旋的相互作用上去。
同位旋是海森堡為表達質子和中子間的對稱性而引入的。如果撇開質子中子這兩種粒子電荷的不同，單就強相互作用而言，它們是完全對稱的，可以看作是相同粒子的兩種不同狀態。
電荷守恒可以導出電磁相互作用勢以及電磁場運動規律，那么，從同位旋守恒是否可以導出強相互作用的規律呢？楊振寧從芝加哥大學開始，便按照這個思路摸索了好幾年，但沒有得到滿意的結果，具體計算也越來越復雜，似乎難以進行下去。
圖14-1：楊-米爾斯規范場理論對大統一理論起了“奠基”的作用
不過，這個推廣規范場的想法總在楊振寧腦海中揮之不去，直到1953-1954年，楊振寧暫時離開高等研究院，到紐約長島的布魯克海文實驗室工作一段時期，正好和來自哥倫比亞大學的博士生米爾斯使用同一個辦公室。布魯克海文實驗室有當時世界上最大的粒子加速器，世界各地也不斷傳來好幾種介子被陸續發現的消息，這些實驗使得兩位物理學家既振奮又雄心勃勃，楊振寧迫切感到需要尋找一個描述粒子間相互作用的有效理論，他對規范理論的思考也有了重大的突破。他和米爾斯認識到描述同位旋對稱性的SU(2)是一種“非阿貝爾群”，與外爾的電磁規范理論的對稱性U(1)完全不同，需要進行不同的數學運算。
比如，公式（14-6）中的四維電磁場張量Fmn的表達式中的A，是電磁場的矢量勢。當推廣到楊-米爾斯場的情況時，因為描述的對象是兩個分量的同位旋，推廣后的B 成為2x2的矩陣，因為矩陣不對易，相應的張量Fmn表達式中需加上一項對易子，見圖（14-2）。
圖14-2：從電磁規范場到非阿貝爾規范場
當楊振寧和米爾斯認識到這點，加上對易子一項后，計算變得簡單順暢起來。如楊振寧在回憶中說：“我們知道我們挖到寶貝了！”【3】。通過兩人卓有成效的合作，他們在《物理評論》上接連發表了兩篇論文【4，5】，提出楊-米爾斯規范場論。
寄出文章之前，1954年的2月，楊振寧應邀到普林斯頓研究院作報告，正逢泡利在高研院工作一年。當楊在黑板上寫下他們將A推廣到B的第一個公式時，“上帝鞭子”開始發言了：“這個B場對應的質量是多少？”，急得楊振寧一身冷汗，因為這個問題一針見血地點到了他們的“死穴”。之后泡利又問了一遍同樣的問題，楊只好支支吾吾地說事情很復雜，泡利聽后便冒出一句他常用的妙語：“這是個很不充分的借口”。當時的場景使楊振寧分外尷尬，報告幾乎作不下去，虧得主持人奧本海墨出來打圓場，泡利方才作罷，之后一直無語【6】。
泡利尖銳的評論，說明他當時已經思考過推廣規范場到強弱相互作用的問題，并且意識到了規范理論中有一個不那么容易解決的質量難點。
第二天，楊振寧接到來自泡利的一段信息，為昨天報告會之后沒有深談而遺憾，信中給這兩位年輕物理學家的工作以美好的祝福，并建議楊讀讀薛定諤的一篇文章。
那是一篇有關狄拉克電子在引力場時空中運動的相關討論，不過，直到多年后，楊振寧才明白了其中所述的引力場與楊-米爾斯場在幾何上的深刻聯系，從而促進他在70年代研究規范場論與纖維叢理論的對應，將數學和物理的成功結合推進到一個新的水平。
規范理論中的傳播子都是沒有質量的，否則便不能保持規范不變。電磁規范場的作用傳播子是光子，光子沒有質量。但是，強相互作用不同于電磁力，電磁力是遠程力，強弱相互作用都是短程力，短程力的傳播粒子一定有質量，這便是泡利當時所提出的問題。果然是因為這個質量的難題，讓規范理論默默等待了20年！
當年的楊-米爾斯理論，雖然沒有真正解決強相互作用的問題，但卻構造了一個非阿貝爾規范場的模型，為所有已知粒子及其相互作用提供了一個框架，后來的弱電統一、強作用、直到標準模型，都是建立在這個基礎上。即使是尚未統一到標準模型中的引力，也完全可以包括進規范場的理論之中。如今，六十多年過去了，“對稱支配相互作用”，已經成為理論物理學家的一個堅定信念。所以，可以毫不夸張地說：楊-米爾斯規范理論，對現代理論物理起了“奠基”的作用。
參考文獻：
【1】Freeman J Dyson，Birds and Frogs : Selected Papers of Freeman Dyson,1990-2014，World Scientific Publishing Company，May 18, 2015
【2】楊振寧.讀書教學四十年.香港三聯書店,1985,120
【3】楊振寧，“我的學習與研究經歷”，http://www.ishare5.com/4526563/
【4】C. N. Yang and R.Mills, Isotopic spin conservation and a generalized gauge invariance,Phys. Rev.95, 631 (1954).
【5】C. N. Yang and R.L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance,Phys.Rev. 96, 191 (1954).
【6】An Anecdote by C.N. Yang：http://universe-review.ca/R15-21-YangPauli.htm
來源：科學網張天蓉博客
