高等概率論的一些學習心得兼推薦一些相關書籍_教育學_高等教育_教育專區

學習概率已經有快 2 年了， 幾乎查閱了所有跟概率相關的書籍， 到目前為止沒有找到我認為特別好的。有人認為 Feller 的概率論及其應用是經典，我買了兩本中譯本，對我來說幫助不大。看了程士宏的測度論與概率論基礎，反而有所收獲。
下面是我轉載的一片網文，里面認為的現代型是我追求的目標， 也就是說希望從測度論和實分析的角度去理解概率這門學科。 高等概率論的一些學習心得兼推薦一些相關書籍 一般人們對概率論這門學科的理解可以劃分為三個層次：
1--古典型--未受過任何相關 訓練的人都屬于此類，他們只能夠理解一些離散的（古典的）概率模型；
2--近代型，通常 指學過概率論基礎的非數學專業理科生， 他們從微積分的角度理解各種連續分布， 概率模型 的數字特征；
3--現代型，這類人能夠抽象地從測度論和實分析高度理解這門學科，任何數 學專業的本科畢業生達不到這個層次都是可恥的。
建立在測度基礎上的概率論通常所謂的高 等概率論。而我的主要目的就是為希望學習高等概率的學生--選擇適合自己的書籍--提供些許幫助。
 選一本適合自己的好的教材對自己以后的學習是決定性的重要--這是學數學的人首先 必須明白的--不僅是對概率方向，對數學的各個分支都是如此。大一的時候齊名友老師跟我 特別提到過這一點，可惜我當時不以為然，結果走了很多彎路，到研究生以后才慢慢明白這 個道理。一本山寨小學校的老師七拼八湊編寫的爛書，常常對學習（特別是自學）不僅無益 反而有害， 因為你往往浪費了時間卻只能得到這個一些支離破碎的印象， 這樣你會遺忘得很 快，很可能到頭來你還得重新學一遍；另一些時候，你選擇了眾人推薦的名著，但你如果當 前的水平達不到一定的層次， 它往往會打擊你的信心讓你灰心喪氣， 甚至會讓你不再有學下 去的欲望。這兩種情形顯然都是人們應該盡量避免的。 需要指出的是，有的書適合作教材，有的書卻只適合作參考書；就算都是教材，它定 位的讀者群體也可能不一樣。 每個人都應該根據自己的實際情況做出選擇。 一般好書大多都 是國外的， 所以如果有可能最好去看國外的原版書， 就算沒有這個能力也應該去鍛煉這個能力。讀原版書其實沒看起來的那么難，你不需要懂得任何高深的語法，記熟 100 個單詞/詞 組就能輕易上手， 記熟 300 個你就能在大多數情況下不需要字典了。 我記得我法語學了不到 一年就來到法國讀書，老師上課基本聽不懂，只能自己找書看，而圖書館里絕大多數參考書 都是法語的（當時不知道在網上找書） 。按說我當時法語應該比大多數中國大學生英語要遠 差，但我抱著一本法語的拓撲書回家一邊查字典一邊看，兩三天就完全適應了。真正看外文 原版書，要克服的首要困難永遠都是數學本身，而不是生詞或者語法。 我推薦的學習方法是這樣的：讀一本簡單而直觀的入門書，這樣能比較容易地把握一 個領域的主干，明白它要達到哪些目的，通過什么樣的方法，關鍵性的定理有哪些；等掌握 大體框架之后再找一本詳盡而嚴密的教材慢慢推敲其細節。中文的書我沒什么好推薦的--在 國內的時候看的書質量都不高（當時抱著一本書就看，對好書和爛書也沒有概念）而出國之 后就沒再看過中文書了。我依稀記得汪嘉岡的《現代概率基礎》還不錯，其它的我就不知道了。
對于外文書，我倒是有很多可以推薦。這樣我首先要推薦的是 David Williams 寫的 Probability with martingales。書寫得很薄，嚴格意義上說它不是一本教材，但完全可以把它 當做現代概率論和鞅理論的入門書來看。 我覺得很少有書能夠寫得象它那樣把嚴密性， 直觀 性以及趣味性完美的融合到一起，并且自成體系(即所謂 self-contained，就是說你不需要一 邊看這本書一邊在別的書里尋找相關定理，定義或者其它背景知識)。它只引入對主題有幫 助的概念， 因此這樣讀者就可以不必顧及細枝末節從而能夠快速領悟其精髓。
等你入門之后， 可以看的進階級書就很多了，比如 Chung Kai Lai 的 A course in probability theory。 測度論的基礎對于高等概率以及隨機過程的學習無疑是很重要的，盡管剛開始的時候 你完全可以跳過許多內容（單調類定理，測度的擴張定理，radon-nikodym 定理等） ，但真正 想把這個方向學好的人最后一定還是得回頭啃這些相對枯燥的基礎知識。我看過嚴加安的 《測度論講義》和 halmos 的測度論，個人感覺后者更友善些，并且更適合自學。嚴的書里， 開篇就羅列一大串定義：什么是 pi 類，半環，半代數，sigma 代數，單調類，lamda 類，再 羅列它們的一些性質，諸如 a 推 b，b 推 c，c 推 d，d 推 a 之類，我以為這樣不容易讓人抓 住重點。測度論理真正重要的集類首先是 sigma 代數和 pi 類，然后是單調類和代數，其它 的集類不知道也罷。
看書除了看教材， 當然還得找幾本參考書以備不時之需。 劍橋出的 Grimmett 和 Stirzaker 合著的 probability and random process，其特點是例子和習題詳盡而豐富，從經典的概率論逐 步過度到現代的測度空間。 它雖然名為本科生教材， 但我覺得其內容之豐富使其作為階段性 的參考資料已經綽綽有余了。然后是大名鼎鼎的 Feller 的兩本 An introduction to probability theory，公認的經典。其特點是通過大量的實例講敘了許多概率論和隨機過程在現實中的應 用，以及各種概率模型的由來及其推導，據說適合從本科生到博士生的一切人群。但 feller 的書寫成已經有半個世紀之久， 因此一些內容還是顯得太陳舊了。
想看更現代一點的參考書 的話，我推薦 Kallenberg 的 Foundations of modern probability。這是一本很新的書，也是一 本名副其實的參考書--因為它只能作參考書--僅 600 頁竟然就講完了概率論各個大大小小分 支的主要內容，書里你可以找到幾乎所有的重要定理，命題，及其證明。 如果你能把書基本看懂，那你已經可以算差不多入門了；如果你能閉著眼睛說出任何 一個定理的證明思路，那么恭喜你，你已經學有小成。但是僅僅看書顯然是不夠的，想要學 得好，學得牢，無論如何你還得做一定量的相應的習題--計算題為輔，證明題為主，并且要 勤于思考養成習慣。為了一道題如果你的思考時間還不到一個甚至半個就放棄而去翻答案， 那么根本就不算你曾為這個問題花費過努力--事實上如果你不認真思考，那么你會覺得所有 的答案，所有的證明都只不過是理所當然的，trivial 的，從而你也不會領悟到真諦。 其它沒啥了。哪天有心情再說說隨機分析吧。