雙曲線
二. 本周教學重、難點：
掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質，能夠根據雙曲線性質畫雙曲線簡圖，了解雙曲線在實際問題中的初步應用。
【典型例題】
[例1] 根據下列條件，求雙曲線方程：
（1）與雙曲線有公共焦點，且過點
；
（2）與雙曲線有共同漸近線，且過點
解：（1）方法一：設雙曲線方程為
由題意易求
又雙曲線過點 ∴
又∵ ∴
故所求雙曲線方程為
方法二：設雙曲線方程為
將點代入得
∴ 雙曲線方程為
（2）方法一：設雙曲線方程為
由題意得
解之，得
故雙曲線方程為
方法二：設所求雙曲線方程為，將點代入得
所以雙曲線方程為
即
[例2] 已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點。
（1）求雙曲線方程；
（2）若點M（3，m）在雙曲線上，求證：；
（3）求的面積。
解析：（1）∵ ∴ 可設雙曲線方程為
∵ 雙曲線過點 ∴ ，即
∴ 雙曲線方程為
（2）證法一：由（1）可知，雙曲線中 ∴
∴ ，
∴ ，
∵ 點M（3，m）在雙曲線上 ∴ ，
故 ∴
∴
證法二：∵ ，
∴
∵ M點在雙曲線上 ∴ ，即
∴ ，即
（3）的底，的高
∴
[例3] 雙曲線C：的兩條準線間距離為3，右焦點到直線的距離為，
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C中是否存在以為中點的弦？
解：（1）根據題意有
解之，得，，
所以雙曲線C的方程為
（2）假設存在以為中點的弦AB，且設
則（*）
方法一：設AB所在直線方程為，即①
將①代入雙曲線C：，整理得
②
∴ ③
④
由（*）及④得，整理得
將代入③有
即當時，方程②無解，從而不存在以為中點的弦
方法二：將代入雙曲線C：
有
⑤－⑥，得
即
又由（*）知
即過AB的弦所在直線的斜率
從而AB所在的直線方程為，即
代入雙曲線C的方程，化簡得，此時
即時，所求直線與雙曲線實際上沒有交點
故不存在以為中點的弦
[例4] 在雙曲線的同一支上的不同三點，，與焦點F（0，5）的距離成等差數列。
（1）求；
（2）證明線段AC的垂直平分線經過定點，并求出定點的坐標。
解析：（1）∵ 點A在雙曲線上支上，
由雙曲線第二定義，
∴
同理，，
由題意，
得
∴
（2）證明：設AC的中點為，AC的中垂線為，其斜率為，則的方程為
由題意可得
<2>－<1>整理，得
把<3><4><5>代入上式，得
∴
代入直線方程，得
即
故直線過定點
[例5] 設雙曲線C：與直線相交于兩個不同的點A、B。
（1）求雙曲線C的離心率的取值范圍；
（2）設直線與軸的交點為P，且，求的值。
解：（1）由C與相交于兩個不同的點
故知方程組
有兩個不同的實數解，消去并整理得
①
所以
解之，得且
雙曲線的離心率
因為且，所以且
即離心率的取值范圍為
（2）設
因為，所以
由此得
由于都是方程①的根，且
所以
消去，得
由，所以
[例6] 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求的取值范圍。
解析：（1）設雙曲線方程為
由已知得，，再由
得，故雙曲線C的方程為
（2）將代入
得
由直線與雙曲線交于不同的兩點得
即且①
設，則，
由得，而
于是，即
解此不等式得②
由①②得
故的取值范圍為
[例7] 已知常數，向量，，經過定點，以為方向向量的直線與經過定點，以為方向向量的直線相交于點P，其中。
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若，過E（0，1）的直線交曲線C于M、N兩點，求的取值范圍。
解析：（1）設P點的坐標為，則，
又，
故，
由題知向量與向量平行，故
又向量與向量平行，故
兩方程聯立消去參數
得點的軌跡方程是
即
（2）∵ ，故點P的軌跡方程為
此時點E（0，1）為雙曲線的焦點。
① 若直線的斜率不存在，其方程為，與雙曲線交于
此時
② 若直線的斜率存在，設其方程為
代入化簡得
∵ 直線與雙曲線交于兩點
∴ 且，解得
設兩交點為
則，
此時
當時，
故；
當或時，
故
綜上所述，的取值范圍是
【模擬試題】
一. 選擇題
1. 過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知定點A、B，且|AB|=4，動點P滿足|PA|－|PB|=3，則|PA|的最小值是（ ）
A. B. C. D. 5
3. 設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
4. 設A為雙曲線右支上一動點，F為該雙曲線的右焦點，連結AF交雙曲線于B，過B作直線BC垂直于雙曲線的右準線，垂足為C，則直線AC必過定點（ ）
A. B. C. （4，0） D.
5. 把曲線C1：按向量平移后得曲線，曲線有一條準線方程為，則的值為（ ）
A. B. C. 3 D.
6. 在中，若，則方程表示（ ）
A. 焦點在x軸上的橢圓 B. 焦點在y軸上的橢圓
C. 焦點在x軸上的雙曲線 D. 焦點在y軸上的雙曲線
7. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點和，若是的等比中項，是與的等差中項，則橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
8. 設分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 不確定
二. 解答題
9. 已知雙曲線M過點，且它的漸近線方程是。
（1）求雙曲線M的方程；
（2）設橢圓N的中心在原點，它的短軸是雙曲線M的實軸，且N中斜率為的弦的中點軌跡恰好是M的一條漸近線在N內的部分，試求橢圓N的方程。
10. 已知雙曲線C的中心在原點，拋物線的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線C過點。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設雙曲線C的實軸左頂點為A，右焦點為F，在第一象限內任取雙曲線C上一點P，試問是否存在常數，使得恒成立？并證明你的結論。
11. 雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為，相應于焦點的準線與軸相交于點A，且，過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點。
（1）求雙曲線的方程及離心率；
（2）若，求直線PQ的方程。
【試題答案】
一.
1. A
解析：設與有公共漸近線的雙曲線方程為，把點代入可求得。
2. C
解析：P點軌跡是以A（左）、B（右）為焦點的雙曲線的右支（如圖）P與雙曲線右支頂點M重合時最小，最小值為。
3. C
解析：橢圓的長軸兩端點和焦點分別為（5，0），，（4，0），
設雙曲線的方程為，則有，，
∴ ，
故其漸近線為
4. A
解析：（特殊值法）取，則
∴ 直線AC與x軸相交于點，故選A
5. C
解析：無論曲線為橢圓還是雙曲線都可得到，且由題意可知曲線中心由（0，0）（1，2）后，曲線的一條準線為，可判定為的右準線
故，即，故
6. C
解析：
即
，，
表示焦點在x軸上的雙曲線，故選C。
7. D
解析：由題意得
由（2）（3）可得，代入（1）得橢圓的離心率，故選D。
8. C
解析：設
設橢圓的長軸為，雙曲線的實軸長為，
則
由此可得
即
將，代入，選C
二.
9. 解析：（1）所求雙曲線的方程為
（2）由（1）知雙曲線的焦點在x軸上
∴ 橢圓的焦點在y軸上
由于雙曲線M的實軸長為
∴ 設橢圓方程為（其中
又設N中斜率為的弦的兩端點為，其中點為
則
由（1）（2）得 ∴ N中斜率為的弦的中點的軌跡是直線在N內的部分。根據題意得 ∴
∴ 橢圓N的方程為
10. 解析：（1）由題意設雙曲線方程為，把代入得①
又拋物線的焦點是（2，0）
故②
由①②得
所以所求雙曲線方程為
（2）假設存在適合題意的常數，此時
先來考慮特殊情形下的值；
當軸時，將代入雙曲線方程
解得
因為，所以是等腰直角三角形，，
此時
以下證明當PF與x軸不垂直時，恒成立
設，由于點P在第一象限內，所以直線PA的斜率存在，為
因為PF與x軸不垂直，所以直線PF的斜率也存在，為
所以
因為
所以
將其代入上式并化簡得
因為，所以
即
因為，
所以
所以恒成立
綜合以上兩種思路，得存在常數，使得雙曲線C在第一象限內的任意一點P，使恒成立。
11. 解：（1）由題意，設雙曲線的方程為
由已知 解得
所以雙曲線的方程為
離心率
（2）由（1）知A（1，0），F（3，0）
當直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為
此時，，應舍去
當直線PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為
由方程組
得
由于過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則，即
由于，即
∴ 且（*）
設，則
由直線PQ的方程得，
于是<3>
∵ ∴
即<4>
由<1><2><3><4>得
整理得 ∴ [滿足（*）]
∴ 直線PQ的方程為或
