概率與統計
［學習過程］
一、高考要求：
了解：抽樣方法 ；總體分布的估計；變量的相關性；統計案例。
理解：總體特征數的估計 ；
了解：隨機事件與概率；幾何概型；互斥事件及其發生的概率；
理解：古典概型。
二、本章知識結構：
三、基礎知識
（一）統計
1. 抽樣方法有 簡單隨機抽樣 ； 系統抽樣 ； 分層抽樣 。
2. 簡單隨機抽樣 抽簽法 ； 隨機數表法 。
3. 用抽簽法從個體個數為Ｎ的總體中抽取一個容量為ｋ的樣本的步驟為：
（1）將總體中的所有個體編號（號碼可以從1到Ｎ）；
（2）將1到Ｎ這Ｎ 個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作）；
（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；
（4）從箱中每次抽出1個號簽，并記錄其編號，連續抽取ｋ次；
（5）從總體中將與抽到的簽的編號相一致的個體取出.
4. 用隨機數表法抽取樣本的步驟是：
（1）對總體中的個體進行編號（每個號碼位數一致）；
（2）在隨機數表中任選一個數作為開始；
（3）從選定的數開始按一定的方向讀下去，得到的數碼若不在編號中，則跳過；若在編號中，則取出；如果得到的號碼前面已經取出，也跳過；如此繼續下去，直到取滿為止；
（4）根據選定的號碼抽取樣本.
5. 將總體平均分成幾個部分，然后按照預先定出的規則，從每個部分中抽取一個個體，得到所需的樣本，這樣的抽樣方法稱為系統抽樣（ｓｙｓｔｅｍAｔｉｃｓAｍｐｌｉｎｇ）. 系統抽樣， 又叫等距抽樣。
6. 系統抽樣的步驟為：
（1）采用隨機的方式將總體中的個體編號； 系統抽樣也可稱為“等距抽樣”.
（2）將整個的編號按一定的間隔（設為ｋ）分段，當Ｎｎ（Ｎ為總體中的個體數，ｎ為樣本容量）是整數時，ｋ＝Ｎｎ；當Ｎｎ不是整數時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數Ｎ′能被ｎ整除，這時ｋ＝Ｎ′ｎ，并將剩下的總體重新編號；
（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號ｌ；
（4）將編號為ｌ，ｌ＋ｋ，ｌ＋2ｋ，…，ｌ＋（ｎ－1）ｋ的個體抽出.
7. 當總體由 差異明顯 的幾個部分組成時，常常將總體中的 個體 按不同的特點分成比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣；其中所分成的各個部分稱為“層”.
8. 分層抽樣的步驟是：
（1）將總體按一定標準分層；若按比例計算所得的個體數不是整數，可作適當的近似處理.
（2）計算各層的個體數與總體的個體數的比；
（3）按各層個體數占總體的個體數的比確定各層應抽取的樣本容量；
（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統抽樣）.
9. 三種抽樣的關
10. 反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表。
11. 將整個取值區間的長度稱為 全距，分成的區間的長度稱為組距.
12. 直觀地體現數據的分布規律的方法———繪制頻數條形圖或頻率直方圖. 頻率分布直方圖
13. 如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數據的頻率折線圖
14. 頻率折線圖的優點是它反映了數據的變化趨勢. 如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線
15. 將這些數據有條理地列出來，從中觀察得分的分布情況. 這種方法就是畫出該運動員得分的莖葉圖
16. 1,2，3,4，5,5，4,3，4,5，4，的平均數是 ；眾數是 4 ；中位數是 4 。
（二）概率
1. 一般地，如果隨機事件A在ｎ次試驗中發生了ｍ次，當試驗的次數ｎ很大時，我們可以將事件A發生的頻率作為事件A發生的概率的近似值，即
。.
2. 在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件
3. 等可能基本事件的兩個特點：
（1）所有的基本事件只有有限個；
（2）每個基本事件的發生都是等可能的.
將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型
4. 概率計算公式：如果一次試驗的等可能基本事件共有ｎ個，那么每一個等可能基本事件發生的概率都是. 如果某個事件A包含了其中ｍ個等可能基本事件，那么事件A發生的概率為Ｐ（A）＝
。
5. 一年按365天計算，2名同學在同一天過生日的概率為
6. 一只口袋裝有形狀、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只紅球和2只黃球. 從中一次隨機摸出2只球，試求：
（1）2只球都是紅球的概率；
（2）2只球同色的概率；
（3）“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍？
解：（1）；（2）；（3）
（三）幾何概型
1. 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點. 這里的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形等. 用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.
一般地，在幾何區域Ｄ中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部一個區域ｄ內”為事件A，則事件A發生的概率Ｐ（A）＝. 這里要求Ｄ的測度不為0，其中“測度”的意義依Ｄ確定，當Ｄ分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等.
2. 即事件A與B是不可能同時發生的. 不能同時發生的兩個事件稱為互斥事件，如果事件A1，A2，…，Aｎ中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，…，Aｎ彼此互斥.
3. 設A，B為互斥事件，當事件A，B有一個發生，我們把這個事件記作A＋B.
4. 如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發生的概率，等于事件A，B分別發生的概率的和，即Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）.
5. 如果事件A1，A2，…，Aｎ兩兩互斥，則Ｐ（A1＋A2＋…＋Aｎ）＝Ｐ（A1）＋Ｐ（A2）＋…＋Ｐ（Aｎ）.
6. 兩個互斥事件必有一個發生，則稱這兩個事件為對立事件. 事件A的對立事件記為.
【典型例題】
例1. 下列問題中，采用怎樣的抽樣方法較為合理？
（1）從10臺冰箱中抽取3臺進行質量檢查；
（2）某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號為1～40. 有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結束以后為聽取意見，需留下32名聽眾進行座談；
（3）某學校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名. 為了了解教職工對學校在校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本.
解：（1）抽簽 （2）系統抽樣 （3）分層抽樣
例2. 甲、乙兩種冬水稻試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下（單位：t／hm2），試根據這組數據估計哪一種水稻品種的產量比較穩定.
解：甲品種的樣本平均數為10，樣本方差為
，
乙品種的樣本平均數也為10，樣本方差為
，
因為，
所以，由這組數據可以認為甲種水稻的產量比較穩定。
例3. 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格 y和房屋的面積x的數據：
（1）畫出數據對應的散點圖；
（2）①求線性回歸方程，②并在散點圖中加上回歸直線；
（3）據（2）的結果估計當房屋面積為150m2時的銷售價格。
解：（1） 散點圖如下
（2）①，
y=0.1982x+1.5926.
②略
（3）y=0.1982x+1.5926=0.1982×150+1.5926=31.323.
答：估計當房屋面積為150m2時的銷售價格為31.323萬元。
例4. 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩只球. （1）共有多少個基本事件？
（2）摸出的兩只球都是白球的概率是多少？
解：（1）共有10個基本事件。
（2）摸出的兩只球都是白球的概率是
例5. 將兩顆骰子拋擲一次，求：
（1）向上的點數之和是8的概率；
（2）向上的點數之和不小于8的概率；
（3）向上的點數之和不小于10的概率.
解：（1）向上的點數之和是8的概率=；
（2）向上的點數之和不小于8的概率=；
（3）向上的點數之和不小于10的概率=；
例6. 用三種不同顏色給圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，求：
（1）3個矩形顏色都相同的概率；
（2）3個矩形顏色都不同的概率.
解：（1）3個矩形顏色都相同的概率=；
（2）3個矩形顏色都不同的概率=.
例7. 把一個各面上均有顏色的正方體鋸成個同樣大小的小正方體，從中任取一塊，求下列事件的概率：
（1）三面涂有顏色；
（2）恰有兩面涂有顏色；
（3）恰有一面涂有顏色；
（4）至少有一面涂有顏色。
解：（1）三面涂有顏色=；
（2）恰有兩面涂有顏色=；
（3）恰有一面涂有顏色=；
（4）至少有一面涂有顏色=1-。
例8. 射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環. 從外向內為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色. 金色靶心叫“黃心”. 奧運會的比賽靶面直徑為122cｍ，靶心直徑為12. 2cｍ. 運動員在70ｍ外射箭. 假設射箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？
解：記射中黃心為事件A，則P（A）=
例9. 在等腰直角三角形ABＣ中，在斜邊AB上任取一點Ｍ，求AＭ小于AＣ的概率.
解：記AＭ小于AC為事件A，則P（A）=。
例10. 將長為3的棒隨機折成3段，
（1）求3段能構成三角形的概率；
（2）求3段不能構成三角形的概率。
解：設被分成的三段的長為x, y，3-x-y，則
x,y對應的區域是如圖所示的三角形。
（1）記3段能構成三角形為事件A，則P（A）=
（2）記3段不能構成三角形為事件B，則P（B）
例11. 某人射擊1次，命中7~10環的概率如表
（1）求射擊1次，至少命中7環的概率；
（2）求射擊1次，命中不足7環的概率.
解：（1）記至少命中7環為事件A，則P（A）=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9。
（2）記命中不足7環為事件B，則P（B）=1- P（A）=0.1。
例12. 甲乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的。如果甲船停泊的時間為4小時，乙船停泊的時間為2小時，求它們中的任意一艘船都不需要等待碼頭空出的概率。
解：設甲乙兩船到達該碼頭的時刻分別是x,y時刻.則
則x, y滿足的可行域為如圖所示的陰影部分。
故所求的概率為：
【模擬試題】
1. 一組數據的方差為3，將這組數據中的每一個數據都擴大到原來的3倍，所得到的一組數據的方差是
2. 采用簡單隨機抽樣從含10個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，個體a前兩次未被抽到，第三次被抽到的概率為_____________________
3. 觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖，則新生嬰兒體重在（2700，3000）的頻率為_ _。
4. 已知樣本99，100，101，x，y的平均數是100，方差是2，則xy=____________
5. 某中學高一年級有x個學生，高二年級共有900個學生，高三年級有y個學生，采用分層抽樣抽一個容量為370人的樣本，高一年級抽取120人，高三年級抽取100人，則全校高中部共有多少學生？
6. 如圖，是某單位職工年齡（取正整數）的頻數分布圖，根據圖形提供的信息，回答下列問題（直接寫出答案）
注：每組可含最低值，不含最高值
（1）該單位職工共有多少人？
（2）不小于38歲但小于44歲的職工人數占職工總人數的百分比是多少？
（3）如果42歲的職工有4人，那么年齡在42歲以上的職工有幾人？
7. 下面是一個病人4月8日到4月10日的體溫記錄折線圖，回答下列問題：
（1）護士每隔幾小時給病人量一次體溫？
（2）這個病人的體溫最高是多少攝氏度？最低是多少攝氏度？
（3）他在4月8日12時的體溫是多少攝氏度？
（4）他的體溫在哪段時間里下降得最快？哪段時間里比較穩定？
（5）圖中的橫虛線表示什么？
（6）從體溫看，這個病人的病情是在惡化還是在好轉？
8. 一個密碼箱的密碼由5位數字組成，五個數字都可任意設定為0～9中的任何一個數字，假設某人已經設定了五位密碼.
（1）若此人忘了密碼的所有數字，求他一次就能把鎖打開的概率；
（2）若此人只記得密碼的前4個數字，求一次就能把鎖打開的概率.
9. 口袋中有形狀、大小都相同的1只白球和1只黑球，先摸出1只球，記下顏色后放回口袋，然后再摸出1只球.
（1）一共可能出現多少種不同的結果？
（2）出現“1只白球、1只黑球”的結果有多少種？
（3）出現“1只白球、1只黑球”的概率是多少？
10. 某種產品共100件，其中有一等品28件，二等品65件，一等品與二等品都是正品，其余為次品. 某人買了這些產品中的1件，問：他買到一等品的概率是多少？買到正品的概率是多少？
11. 如圖，把一個體積為64cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1cm3的小正方體，從中任取一塊，求這一塊至少有一面涂有紅漆的概率.
12. 100張卡片上分別寫有1，2，3，…，100，計算：
（1）任取其中1張，這張卡片上寫的數是6的倍數的結果有多少種？
（2）任取其中1張，這張卡片上寫的數是6的倍數的概率是多少？
13. 某人睡午覺醒來，發覺表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，求他等待的時間短于10ｍｉｎ的概率.
14. 已知地鐵列車每10ｍｉｎ一班，在車站停1ｍｉｎ. 求乘客到達站臺立即乘上車的概率.
15. 在1Ｌ高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10ｍＬ，含有麥銹病種子的概率是多少？
16. 如圖，在墻上掛著一塊邊長為16ｃｍ的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2ｃｍ，4ｃｍ，6ｃｍ，某人站在3ｍ之外向此板投鏢. 設投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算，可重投，問：（1）投中大圓內的概率是多少？（2）投中小圓與中圓形成的圓環的概率是多少？（3）投中大圓之外的概率是多少？
17. 有五條線段，其長度分別為1，3，5，7，9. 現任取三條，求能構成三角形的概率.
【試題答案】
1. 9 2. 3. 0.3 4. 9996 5. 2220
6. （1）50 （2） （3）15
7. （1）6 （2）39.5；36.8 （3）38
（4）6-12；18-18 （5）正常 （6）好轉。
8. （1） （2）
9. （1）4 （2） 2 （3）
10.
11.
12.
13. 14. 15.
16.
17. 解：能構成三角形的有3，5，7；3,7，9；5,7,9。故所求事件的概率為。
