一談到數(shù)學(xué)，我們的第一印象就是嚴(yán)密的推理和演算，就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?，尤其幾何更是如此。培養(yǎng)學(xué)生超強的邏輯思維能力（也許還包括計算能力）是許多數(shù)學(xué)老師最迫切的愿望之一。其實，數(shù)學(xué)需要的并不僅僅是邏輯，更不僅僅是計算。
數(shù)學(xué)需要轉(zhuǎn)化、需要演算和推理，這是一般人都能夠想得到的，但數(shù)學(xué)需要聯(lián)想、想象，甚至猜想?yún)s未必是每個人都同意的。因為在多數(shù)人的眼里，聯(lián)想、想象和猜想這些思維方式往往和形象思維、直覺思維聯(lián)系更為緊密。正因為如此，我們常常本能地、直覺地認(rèn)為這些思維方式與以邏輯思維見長的數(shù)學(xué)沒有太大關(guān)系——事情果真如此嗎？
數(shù)學(xué)是一門由數(shù)字、字母、符號、圖形和文字構(gòu)成的特殊的語言符號系統(tǒng)。正因為這個系統(tǒng)的特殊性，使得數(shù)學(xué)問題的解決不僅僅需要邏輯推理，它還需要多種語言的閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、表達(dá)能力；由于圖形和符號在數(shù)學(xué)中的廣泛存在與運用，解決數(shù)學(xué)問題不僅需要抽象思維，還需要形象思維，甚至是動作思維能力；而直覺又是廣泛地存在于不同思維形式之間的特殊思維樣式。由此可見，數(shù)學(xué)思維能力廣泛依賴于不同思維形式，是一種整合多種能力和素質(zhì)的綜合水平極高的能力。
無論是綜合法、分析法，還是分析綜合法；無論是正向思維，還是逆向思維，當(dāng)我們面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)背景時，往往并不能實現(xiàn)思維的貫通和問題的解決。在這個時候，我們就需要聯(lián)想和想象，通過類比，通過假設(shè)來探索思維的中間路徑。如果這個問題更加復(fù)雜，這個時候，我們常常就需要拿出一點“大膽假設(shè)，小心求證”的精神，通過理想化的設(shè)計，猜想解決問題的路徑，然后進(jìn)行嘗試。
這種猜想往往并不依賴于形象，也不依賴于邏輯，而是一種純粹的有些“想當(dāng)然”的設(shè)想，是一種以完美、和諧、統(tǒng)一為依歸的“無依據(jù)”的假設(shè)，或者是僅僅依懶于不完全的歸納得出的假設(shè)，大概就是人們開玩笑常說的“做夢娶媳婦——盡想美事”的狀態(tài)。這種猜想說到底是一種理想化的假設(shè)，雖然不能成為解決問題的依據(jù)，卻常?？梢詭椭覀儗ふ业浇鉀Q問題的正確路徑。從這里出發(fā)，再回歸到嚴(yán)密的邏輯，從而確證我們的結(jié)論。因此，它不失為一種有效的解題方法。
更重要的是，重視猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和運用猜想，不但可以幫助我們提高解決數(shù)學(xué)問題的能力，更重要的是可以幫助我們的思維擺脫僵死的、呆板的狀態(tài)，讓我們的思想更具有活力，更具有靈性，從而提高我們的創(chuàng)造力。
下面我想結(jié)合新課程的新增內(nèi)容《推理與證明》的教學(xué)，從它的數(shù)學(xué)意義與教育價值兩個方面和大家一起分享“學(xué)會數(shù)學(xué)猜想、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的實踐與探索。
一、《推理與證明》的數(shù)學(xué)意義
美籍?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞（1887～1985）的三部著作《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》早已風(fēng)靡全球的事實，充分說明了人們已不再認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程僅是世界頂級數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)游戲，人們不想僅為那些“高深”的數(shù)學(xué)理論與發(fā)現(xiàn)歡呼雀躍，更希望能夠分享數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程、數(shù)學(xué)探索的方法，即合情推理（歸納推理、類比推理）與演繹推理。由此可見“推理與證明”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探索中的重要意義與作用。
通過對問題解決過程、特別是對已有成功實踐的深入研究，波利亞發(fā)現(xiàn)：可以機械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的；在問題解決的過程中,人們總是針對具體情況,不斷地向自己提出有啟發(fā)性的問題或提示,以啟動并推進(jìn)思維的進(jìn)程；因此,他試圖總結(jié)出一般的方法或模式,這些方法和模式在以后的問題解決活動中起到了重要的啟發(fā)和指導(dǎo)作用。波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個方面：用歐幾里得方式提出的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實驗性的歸納科學(xué)?！币虼?他明確提出了兩種推理：合情推理與演繹推理，演繹推理可用來確定數(shù)學(xué)知識，合情推理可用來為猜想提供依據(jù)。而且在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。
許多數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)猜想，包括世界著名難題的解決，往往是在對數(shù)、式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法，而后再進(jìn)行邏輯驗證；同時隨著問題的解決，使數(shù)學(xué)方法得到提煉、數(shù)學(xué)研究范圍得到拓展、使數(shù)學(xué)不斷地前進(jìn)與發(fā)展。費馬通過對勾股定理的研究大膽地提出了費馬猜想！為了尋找這個猜想的證明方法，許多數(shù)學(xué)家投入了畢生的精力，在上世紀(jì)被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明，最終形成了費馬大定理。這個被數(shù)學(xué)家希爾伯特稱作會下“金蛋”的老母雞，本身是用合情推理的方法提出的。在長達(dá)幾個世紀(jì)的探索中，數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)造過程無不蘊涵著合情推理。因此，從某個方面來說，合情推理促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，更推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，最終形成了歐拉定理、哥德巴赫猜想、四色問題等諸多世界數(shù)學(xué)史上的奇葩。
哥德巴赫猜想是數(shù)學(xué)皇冠上一顆“明珠”。自1742年提出以來，已歷經(jīng)兩個半世紀(jì)的探索。雖然至今尚未被人證實猜想的正確性，也無人能夠給以否定，但圍繞這個猜想所作的研究，卻積聚了眾多的資料與成果，可以說哥德巴赫猜想的研究，已達(dá)到了非常精深的境界。
1742年的一天，哥德巴赫在紙上寫下了一串等式：
6=2 2 2,
他終于按捺不住，寫信告訴歐拉，說他想冒險發(fā)表下列猜想：“大于5的任何自然數(shù)，都可以寫成三個素數(shù)的和。”不久，歐拉回信說，他認(rèn)為：“每一個不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個素數(shù)的和。”
這就是著名的哥德巴赫猜想。
200年過去了，沒有人能夠證明這個猜想。
目前世界范圍內(nèi)的最佳結(jié)果是由我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理。
這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬的數(shù)學(xué)家的關(guān)注。這就是一個好問題的巨大價值，這就是一個好的猜想的歷史意義。
1900年8月，不滿40歲的數(shù)學(xué)大師希爾伯特，縱論全局、指點未來，發(fā)表了“數(shù)學(xué)問題”的經(jīng)典演說，提出了著名的23個數(shù)學(xué)問題，并留下了一段關(guān)于問題（猜想）對數(shù)學(xué)發(fā)展的名言：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡或中止。數(shù)學(xué)研究也需要自己的問題。”
猜想既引導(dǎo)著研究的目標(biāo)，又表明了社會發(fā)展的認(rèn)知需要。數(shù)學(xué)史上充滿著猜想，可以說：數(shù)學(xué)是伴隨著對數(shù)學(xué)命題的猜想而發(fā)展的。
從某種意義上說，一部數(shù)學(xué)史就是猜想與驗證猜想的歷史。這里面，既有偉大的猜想、也有微不足道的猜想；有最終被證明了的猜想、也有最后被否定了的猜想；有很快被解決了的猜想、更有至今還“懸著”的猜想。有許多數(shù)學(xué)家是猜想家，他們既有非凡的直覺能力，為后世留下一個個饒有趣味的誘人的猜想。特別地，重大猜想的解決過程，往往也帶來了數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大推動力。
猜想使人的認(rèn)識擺脫了消極等待的被動狀態(tài)；猜想在人的認(rèn)識發(fā)展過程中，功不可沒、作用巨大。難怪科學(xué)家們總是感慨地驚嘆：“人類每一次大的成功，都是開始于大膽的猜想?！?/font>
猜想的過程即為觀察與實驗、歸納、類比與聯(lián)想、直覺與猜想的合情推理的過程，合情推理的實質(zhì)就是“發(fā)現(xiàn)”，即發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系、新的規(guī)律和新的方法等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，合情推理除了具有發(fā)現(xiàn)新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數(shù)學(xué)事實和規(guī)律，擴展認(rèn)知領(lǐng)域，促進(jìn)知識的掌握和遷移，啟迪思維和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。
如果說通過演繹推理可以培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，那么通過合情推理則可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實踐能力。因此可以說，合情推理是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)和必要條件，是21世紀(jì)新型人才應(yīng)當(dāng)具有的素質(zhì)。
二、《推理與證明》的教育價值的實踐與探索
著名的美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞提出：“對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生和從事數(shù)學(xué)工作的教師來說，猜想是一個重要的（但卻通常被忽視的）方面，因為：在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個定理的內(nèi)容；在你完全做出詳細(xì)的證明之前，你先得猜測證明的思路；你既要把觀察到的結(jié)果進(jìn)行綜合，然后加以類比；又要一次一次地進(jìn)行嘗試……我們通常得到的那個證明（或解答），就是這樣通過合情推理、通過猜想發(fā)現(xiàn)的。”
特別地，是否具有創(chuàng)造性已是衡量人才的重要標(biāo)準(zhǔn)、更是素質(zhì)教育對能力培養(yǎng)提出的要求，而創(chuàng)造力的培養(yǎng)則有賴于教學(xué)中論證推理與合情推理同時并重的思維方法訓(xùn)練。
在第八屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，對于20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞建立的合情推理模式以及觀察、實驗、類比、歸納、化歸、猜想等方法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新中所起的作用給予了高度的評價，在全世界范圍內(nèi)形成了廣泛的共識。在布魯塞爾的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”和上海教科院所推出的“研究性學(xué)習(xí)”中都對合情推理教學(xué)給予了高度的評價。合情推理教學(xué)符合我國素質(zhì)教育的要求。
國際數(shù)學(xué)課程改革的研究表明：在處理中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法方面有兩個基本思路:
第一,主要通過純數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí),逐步使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想和方法；
第二,通過解決實際問題,使學(xué)生形成那些對人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法,如實驗、猜測、合情推理等。
兩者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更廣泛的應(yīng)用性。主要的發(fā)達(dá)國家也傾向于采用第二個基本思路。
有研究表明：合情推理與演繹推理有著較高的相關(guān)性；學(xué)生的合情推理的發(fā)展與演繹推理的發(fā)展也有著密切的聯(lián)系．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要促使學(xué)生的合情推理與演繹推理同步發(fā)展．
如果說通過演繹推理可以培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，那么通過合情推理則可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實踐能力。因此可以說，合情推理是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)和必要條件，是21世紀(jì)新型人才應(yīng)當(dāng)具有的素質(zhì)。
而合情推理的實質(zhì)就是“發(fā)現(xiàn)”，即發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系、新的規(guī)律和新的方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，合情推理除了具有發(fā)現(xiàn)新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數(shù)學(xué)事實和規(guī)律，擴展認(rèn)知領(lǐng)域，促進(jìn)知識的掌握和遷移，啟迪思維和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。
作為數(shù)學(xué)教育工作者，讓我們暢想一下：
當(dāng)學(xué)生感受到“高不可攀”的哥德巴赫猜想是那樣“淺顯易懂”時；當(dāng)學(xué)生能夠類比三角形的面積公式聯(lián)想到三棱錐的體積公式，又經(jīng)過思維實驗、數(shù)據(jù)檢測、調(diào)整證明得到時；特別是當(dāng)學(xué)生能夠類比哥德巴赫猜想而提出“自己的素數(shù)猜想”，類比自然數(shù)的求和公式而得到自然數(shù)的平方和公式，又由此猜想得到自然數(shù)的立方和公式時，學(xué)生的猜想、證明的方法、學(xué)生內(nèi)心的感動、學(xué)生的收獲與分享都著實地讓我們感受到了數(shù)學(xué)的偉大，更感受到了數(shù)學(xué)教育的價值與意義！因此《推理與證明》一章的教育價值已經(jīng)超越了知識與內(nèi)容本身，而更在于數(shù)學(xué)的意義與方法！
