一、“大．小·個(gè)”是形式與內(nèi)容的結(jié)合體，那么它的結(jié)合部是什么，中介在哪里?其教學(xué)活動(dòng)過(guò)程的實(shí)質(zhì)是什么?
任何通過(guò)實(shí)驗(yàn)，以科學(xué)形態(tài)建構(gòu)的教學(xué)方式，都是形式與內(nèi)容的結(jié)合體，“大·小·個(gè)”教學(xué)方式也不例外。從形式結(jié)構(gòu)看，它是通過(guò)教師面向全體學(xué)生的導(dǎo)學(xué)，教師參與、指導(dǎo)下的小組議學(xué)和學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)中教師相機(jī)進(jìn)行的輔學(xué)，其三者在教學(xué)目標(biāo)統(tǒng)攝下，按照教學(xué)過(guò)程規(guī)律、學(xué)生心理活動(dòng)規(guī)律和教學(xué)實(shí)際情況，有序交替、優(yōu)化綜合地運(yùn)作而構(gòu)成的教學(xué)有機(jī)體；它對(duì)教學(xué)內(nèi)容提出與之相適應(yīng)的要求，即對(duì)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容作結(jié)構(gòu)化、問(wèn)題化的處理和變革，其結(jié)構(gòu)是問(wèn)題化了的結(jié)構(gòu)，其問(wèn)題是結(jié)構(gòu)化了的問(wèn)題，由此而構(gòu)成蘊(yùn)含整個(gè)教材內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)。例如，平幾§7．6《圓的內(nèi)接四邊形》教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探索圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)時(shí)，凝結(jié)兩個(gè)問(wèn)題：
1．如圖1，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，試觀察圖形的位置特點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)角之間是什么關(guān)系且加以證明。想一想，對(duì)于任意四邊形，是否都有這個(gè)關(guān)系?
2.如延長(zhǎng)BC，得∠DCE，如圖2，這時(shí)又有什么發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)用文字表述之，且加以證明。
上述兩個(gè)問(wèn)題蘊(yùn)含了圓內(nèi)接四形性質(zhì)定理的全部?jī)?nèi)容，但它是以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)的，且兩個(gè)問(wèn)題之間存在著本質(zhì)的內(nèi)在的聯(lián)系。
“大·小·個(gè)”教學(xué)將形式結(jié)構(gòu)和內(nèi)容結(jié)構(gòu)于一體，使兩者相互融合，相依相存。至此，人們不禁要問(wèn)，這里的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程，究竟是一種什么樣的活動(dòng)動(dòng)過(guò)程?這個(gè)問(wèn)題的指向很明顯，就是要弄清這種教學(xué)方式的形式與內(nèi)容的結(jié)合部是什么，中介在哪里?實(shí)驗(yàn)研究表明，它的結(jié)合部，或者說(shuō)中介，是問(wèn)題解決。問(wèn)題解決作為一種教學(xué)的活動(dòng)與過(guò)程，在“大·小·個(gè)”教學(xué)方式中，可謂得天獨(dú)厚、左右逢源，它成為“大·小·個(gè)”教學(xué)的主干線，一面從內(nèi)容結(jié)構(gòu)中獲得教學(xué)問(wèn)題，使之具備問(wèn)題解決的前提條件和基礎(chǔ)；一面又從形式結(jié)構(gòu)中獲得有序變換、有效運(yùn)作的教學(xué)形式和方法，使之具備問(wèn)題解決的“船”和“橋”。因此，這樣的結(jié)合體，作為一種優(yōu)化了的教學(xué)方式，其實(shí)質(zhì)是從某一具體數(shù)學(xué)教材內(nèi)容出發(fā)，以問(wèn)題解決為主線、為載體，所展開(kāi)的在教師指導(dǎo)幫助下，學(xué)生主動(dòng)的和學(xué)生之間互動(dòng)的學(xué)習(xí)與探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。
二、“大·小·個(gè)”教學(xué)中的問(wèn)題從哪里來(lái)?它有哪些類型，每種類型有哪些特點(diǎn)，各自常在什么樣教學(xué)情境中運(yùn)用?
凝結(jié)、尋求和設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題，是“大·小·個(gè)”教學(xué)首要的問(wèn)題，核心的問(wèn)題。一個(gè)好的精彩的問(wèn)題，能使教學(xué)光輝閃耀，沁人心脾；如果是一般性的問(wèn)題，教學(xué)則會(huì)黯然失色，難動(dòng)人心；若沒(méi)有問(wèn)題或是一問(wèn)一答，“大·小·個(gè)”教學(xué)就會(huì)被肢解殆盡而不復(fù)存在了。“大·小·個(gè)”教學(xué)的問(wèn)題從何而來(lái)?研究和實(shí)驗(yàn)告訴我們：
一是根據(jù)在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的演化和教學(xué)的推進(jìn)中出現(xiàn)的新矛盾、新問(wèn)題，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)際背景，
尋找和凝結(jié)蘊(yùn)含著新的相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的情境問(wèn)題。這樣的問(wèn)題可以對(duì)課本中的具體材料加以組織和處理，也可以聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)的有關(guān)材料進(jìn)行設(shè)計(jì)。比如，在學(xué)習(xí)了一元一次方程和有關(guān)其他數(shù)學(xué)知識(shí)之后，教學(xué)《一元二次方程》擬出示如下問(wèn)題：
(1)從數(shù)學(xué)角度考慮，說(shuō)說(shuō)工人師傅是怎樣用薄鋼片焊接無(wú)蓋方盒的。現(xiàn)有一塊長(zhǎng) 80cm，寬60‘m的薄鋼片，要做成底面積為1500cm２”的無(wú)蓋方盒，應(yīng)在鋼片四個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為多少厘米的正方形?試用方程的思想方法求解。
(2)所得方程與已經(jīng)學(xué)過(guò)的一元一次方程，從整體結(jié)構(gòu)和各個(gè)要素看，有何異同?這種方程叫做什么方程，怎么解這種方程?它的根的情況如何，能否預(yù)先作出判別?根與系數(shù)又有什么關(guān)系，如何運(yùn)用這種方程解決實(shí)際問(wèn)題?
這一組問(wèn)題，其問(wèn)題。(1)是引導(dǎo)性問(wèn)題，學(xué)生在教師幫助下，經(jīng)過(guò)閱讀、分析、思考、討論，是可以在短時(shí)間內(nèi)得到解決的；但問(wèn)題(2)卻難以在短時(shí)間內(nèi)獲得全面認(rèn)識(shí)和結(jié)論，需要安排一個(gè)單元教學(xué)時(shí)間方能完成。然而它們卻囊括一元二次方程所要研究的主要問(wèn)題，勾勒出這個(gè)單元教學(xué)的基本輪廓，又展示了它的來(lái)龍去脈，具有提示教學(xué)目標(biāo)，明確學(xué)習(xí)任務(wù)，激發(fā)學(xué)習(xí)、探索的熱情和動(dòng)機(jī)的重要作用，并且蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)思想和認(rèn)識(shí)規(guī)律，能起到潛移默化、春風(fēng)化雨的熏陶指導(dǎo)作用。又如，在上例平幾§7．6圓內(nèi)接四邊形教學(xué)開(kāi)始時(shí)，提出如下問(wèn)題：我們知道，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，換句話說(shuō)，不在同一直線上的三個(gè)共圓，那么，不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，是否也共圓呢?這個(gè)問(wèn)題雖然講的都是點(diǎn)共圓問(wèn)題，但點(diǎn)數(shù)增加了，情況會(huì)有什么變化呢？這就引起了學(xué)生的好奇心理、學(xué)習(xí)心向，同時(shí)隱含了一定的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和變化：從過(guò)一點(diǎn)的圓到過(guò)二點(diǎn)、三點(diǎn)以至四點(diǎn)的圓；并且從點(diǎn)——平面圖形——角的關(guān)系的研究方向，為學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形引發(fā)了動(dòng)機(jī)和求知欲，而且對(duì)思維的課題作了正確的導(dǎo)向。
如此一類問(wèn)題，猶如一個(gè)或一場(chǎng)戲開(kāi)場(chǎng)的引子和序言，并且常常在章、節(jié)和單元教學(xué)的啟始階段使用，具有較強(qiáng)的整體引入、先導(dǎo)功能，我們管它叫整體先導(dǎo)型問(wèn)題。
二是新知探索型問(wèn)題，即在每節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵處，從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，凝結(jié)、設(shè)計(jì)和提出的教學(xué)問(wèn)題。它能促使學(xué)習(xí)者積極參與，以至全身心地投入新知識(shí)的學(xué)習(xí)和探索之中，并在教師指導(dǎo)下，去索取結(jié)論、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、發(fā)展智能。如上述所舉的圓內(nèi)接四邊形教學(xué)中，提出的兩個(gè)問(wèn)題，就有這個(gè)功能。又如，教學(xué)代數(shù)§12．3《一元二次方程根的判斷式》，可提出如下問(wèn)題，試從解一元二次方程的實(shí)踐中，歸納根的情況并解下列方程，看它們根的情況是否與自己歸納的情況相符：(1)2x2+3x-4=0；(2)16y2=9=24y；(3)5(x2+1）-7x=0。結(jié)合閱讀課本P26-27，從一元二次方程的一般式出發(fā)，試分析和追究根的情況不同，根本原因在哪里，它是由什么代數(shù)式?jīng)Q定的?試問(wèn)不解方程，能否判別方程根的情況，怎么判別?再如，教學(xué)平幾§7．5圓周角的性質(zhì)，可提出如下問(wèn)題：通過(guò)演示或?qū)嶒?yàn)觀察(在⊙o上固定A、B兩點(diǎn)，系上橡皮筋，在其上任取一點(diǎn)C，將C點(diǎn)從圓心O運(yùn)動(dòng)至圓周上，并沿圓周運(yùn)動(dòng))，指出圓周角有哪些不同的位置關(guān)系(包括特殊的和其他的)，試給它們分類并畫圖，再看看這些圓周角各自與所對(duì)弧上的圓心角又有什么關(guān)系，試證明你的猜想(可參閱課本P91—92的分析、證明部分)，最后得到什么結(jié)論。
這類問(wèn)題的特點(diǎn)是：(1)以整體的深入的教材分析為基礎(chǔ)，緊扣重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵；(2)展示知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，體現(xiàn)知識(shí)的或認(rèn)知的邏輯結(jié)構(gòu)；(3)以一定的數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，融匯著教法和學(xué)法；(4)提示具體目標(biāo)，強(qiáng)化動(dòng)機(jī)，啟迪思維，促進(jìn)合作，激發(fā)潛能。
三是鞏固練習(xí)型問(wèn)題。通過(guò)對(duì)新知的探索活動(dòng)，不斷抽象出某些問(wèn)題所遵循的規(guī)律和法則，逐步導(dǎo)出新的數(shù)學(xué)概念的再發(fā)現(xiàn)。緊接著，還要把剛得到的概念和規(guī)則再運(yùn)用到新的具體的情景問(wèn)題中去。這類問(wèn)題主要來(lái)自課本中的例題、練習(xí)和習(xí)題，有的可稍加改造，引進(jìn)變式，也可酌情設(shè)計(jì)一些開(kāi)放、半開(kāi)放問(wèn)題。如在圓內(nèi)接四邊形教學(xué)進(jìn)入例題研究與練習(xí)時(shí)，提出如下問(wèn)題：
(1)如圖3，⊙o1和⊙o2都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙o1交于點(diǎn)C，與⊙o2交于點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與o1交于點(diǎn)E與⊙o2交于點(diǎn)F，試應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形定理，求
證：CF//DF。
(2)本題中，根據(jù)題設(shè)條件，是否只有上面一種作圖，還有其他作圖嗎?若有，其結(jié)論是否仍然成立，為什么?
(3)想一想，在兩圓相交的問(wèn)題中，為了溝通兩圓有關(guān)角的關(guān)系，經(jīng)常需作什么線段?
這類問(wèn)題具有反復(fù)強(qiáng)調(diào)抽象與現(xiàn)實(shí)之間關(guān)系的特征，又與新課知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)緊密聯(lián)系，通過(guò)對(duì)這類問(wèn)題的演練，不僅能幫助學(xué)生加深對(duì)所學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式的理解，而且能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)這些知識(shí)在新的情景中應(yīng)用，并從中開(kāi)拓思路，發(fā)現(xiàn)“奧秘”，積累經(jīng)驗(yàn)，逐步掌握解題的策略和方法，培養(yǎng)思維的靈活性、規(guī)律性。
四是綜合應(yīng)用型問(wèn)題。為了進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性、批判性和創(chuàng)造性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用意識(shí)，訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課、活動(dòng)課和課外學(xué)習(xí)與活動(dòng)中，可以有計(jì)劃地提供一些知識(shí)跨度較大、能力要求較高的綜合應(yīng)用型的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的廣闊天地。
(1)借助課本上的例題、習(xí)題，進(jìn)行縱向挖掘、橫向延伸，使例題、習(xí)題真正起到舉一反三的作用。如平幾§7．5圓周角P94的例2，如圖4，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑，求證：AB·AC=AE·AD。試問(wèn)，除了課本上解法外，還可以有其他解法嗎?若有，請(qǐng)逐個(gè)寫出解題過(guò)程。
(2)從非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，從現(xiàn)實(shí)世界生活和生產(chǎn)的真情實(shí)景中，攝取所需要的相應(yīng)數(shù)學(xué)工具來(lái)解決問(wèn)題，讓學(xué)生去動(dòng)手、動(dòng)腦，去研討，不僅能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和討論交流數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，把生活中的問(wèn)題用數(shù)學(xué)化的方法加以思考、分析、求解的能力。如對(duì)初二下或初三學(xué)生給出下列磁帶問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們觀察家中的磁帶，回答兩個(gè)問(wèn)題：①一盤60分鐘的普通磁帶有多長(zhǎng)?②一盤60分鐘的普通磁帶的單層厚度是多少?試尋求解決問(wèn)題的模型與方案，并準(zhǔn)備在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上以小組為單位進(jìn)行匯報(bào)、交流。
三、“大·小·個(gè)”問(wèn)題解決教學(xué)，是否有一個(gè)基本模式，它的教學(xué)特性是什么?為什么說(shuō)這種教學(xué)方式具有跨世紀(jì)意義?
“大·小·個(gè)”問(wèn)題解決教學(xué)，以教會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)合作、主動(dòng)發(fā)展為目標(biāo)，經(jīng)過(guò)十余年的研究、實(shí)驗(yàn)和探索，形成了一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的范式：教學(xué)的主線圍繞教材知識(shí)結(jié)構(gòu)的線索展開(kāi)，并在一定背景下導(dǎo)出學(xué)習(xí)、研究的課題，教學(xué)問(wèn)題圍繞課題重點(diǎn)提出，學(xué)習(xí)沿著問(wèn)題凝結(jié)、探求和解決的方向發(fā)展、深入。對(duì)于每一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題(題組練習(xí))的提出、探求和解決，一般要經(jīng)歷導(dǎo)(大班的教和導(dǎo))——學(xué)(獨(dú)立的學(xué)、習(xí)與思)—議(小組互助與研討)——結(jié)(大班交流、評(píng)價(jià)和小結(jié))四環(huán)節(jié)構(gòu)成的教學(xué)輪環(huán)，每個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)又常有其他環(huán)節(jié)的教學(xué)因素或行為自然滲透其中，尤其思維始終處于中心地位，合作是它的外顯特征。一般地，一節(jié)課是一個(gè)大輪環(huán)，套1—3個(gè)小輪環(huán)，每節(jié)課的大輪環(huán)又環(huán)環(huán)相扣，套于教學(xué)單元之中。每個(gè)輪環(huán)亦大小有別，并且不是平面的，而是過(guò)程與認(rèn)識(shí)、發(fā)展相互映襯、螺旋上升、循序漸進(jìn)的，從而發(fā)展認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，全面實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。
透過(guò)這個(gè)教學(xué)模式，不難看到它所顯示的教學(xué)特性及其富含的理論基礎(chǔ)依據(jù)：
(1)從優(yōu)化教學(xué)形式入手，使課堂教學(xué)形式結(jié)構(gòu)的變革與教材內(nèi)容組織結(jié)構(gòu)的變革相統(tǒng)一；
(2)在開(kāi)發(fā)人力資源上著眼，使主體心理活動(dòng)過(guò)程與人際交往互動(dòng)過(guò)程，個(gè)體化與社會(huì)化相統(tǒng)一；
(3)以促進(jìn)思維發(fā)展為核心，使認(rèn)知與元認(rèn)知，智力因素與非智力因素相互作用和諧發(fā)展，能力與個(gè)性發(fā)展相統(tǒng)一；
(4)以教會(huì)學(xué)習(xí)為基點(diǎn)，使教法與學(xué)法，教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體地位相統(tǒng)一。
因此，在具體操作上，既要體現(xiàn)這些精神實(shí)質(zhì)，因“地”制宜，不機(jī)械套用；又要注意它有機(jī)有序、優(yōu)化綜合、動(dòng)態(tài)和諧的特點(diǎn)。
在“大．小·個(gè)”教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)更加扎實(shí)，經(jīng)驗(yàn)和能力得到鍛煉和提高，精神生活更加豐富，他們一方面樂(lè)于在老師指導(dǎo)下獨(dú)立和合作學(xué)習(xí)與探索，一方面又想擺脫教師的影響，希望在更加寬松和自由的環(huán)境中，實(shí)踐自己的經(jīng)驗(yàn)，嘗試自己的能力，以謀求自己的發(fā)展并在班級(jí)群體中更充分體現(xiàn)個(gè)人或小組的價(jià)值。因此，“大．小·個(gè)”自然延伸課外，水到渠成。對(duì)此，教師宜加以引導(dǎo)和幫助，包括安排相應(yīng)的活動(dòng)，提供相應(yīng)的問(wèn)題等。在“大．小·個(gè)”教學(xué)作用下的學(xué)生課外自學(xué)、課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)，及其正規(guī)和不正規(guī)的小組議學(xué)，又反過(guò)來(lái)為課上的學(xué)習(xí)作了鋪墊，打下基礎(chǔ)，促使課堂教學(xué)產(chǎn)生更深層的結(jié)構(gòu)和質(zhì)量的變化，于是，“大·小·個(gè)”教學(xué)自身便形成了良性循環(huán)。它把課堂教學(xué)和課外學(xué)習(xí)，學(xué)生生動(dòng)活潑、主動(dòng)的學(xué)習(xí)與發(fā)展，全體學(xué)生的發(fā)展與提高聯(lián)系在一起，從而使“大·小．個(gè)”教學(xué)進(jìn)入一個(gè)新的境界。
最近，桑新民教授在《教育研究》上發(fā)表題為“當(dāng)代信息技術(shù)在傳統(tǒng)文化——教育基礎(chǔ)中引發(fā)的革命”一文中，介紹了美國(guó)蘋果公司的教育家們開(kāi)展的一項(xiàng)稱為“明日蘋果教室”教育改革實(shí)驗(yàn)研究。該實(shí)驗(yàn)始于80年代中期，持續(xù)了10年，旨在探索和創(chuàng)設(shè)一種信息時(shí)代的學(xué)習(xí)環(huán)境和教育模式。這種教學(xué)模式的特點(diǎn)，可以概括為三：一是學(xué)生從被動(dòng)的知識(shí)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)的探索和個(gè)性化的獨(dú)立學(xué)習(xí)；二是自主學(xué)習(xí)比傳統(tǒng)課堂講授更能促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，用他們自己的創(chuàng)造力去研究并向他人表達(dá)信息；三是教師更多地是作為一個(gè)管理者、引導(dǎo)者，而不是說(shuō)教者，他們成功地將創(chuàng)造力獻(xiàn)給更具挑戰(zhàn)性和個(gè)性化的師生交往與共同探索之中。從這里，不難發(fā)現(xiàn)“明日蘋果教室”教改實(shí)驗(yàn)與“大·小·個(gè)”教改實(shí)驗(yàn)之間有著驚人的相似之處。前者研究探索的是現(xiàn)代信息技術(shù)下的教學(xué)模式，后者研究探索的是在素質(zhì)教育下的一個(gè)教學(xué)模式，它們均始于80年代中期，歷時(shí)10年余，而且所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)模式，都立足于學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)和主動(dòng)探索；重視學(xué)生之間的交流、合作，共同探索與創(chuàng)造，教師扮演著管理者、指導(dǎo)者的角色；融課堂努力與課外自主學(xué)習(xí)于一體。因此，從我國(guó)教育步入信息時(shí)代的意義上講，“大·小·個(gè)”教學(xué)方式，確實(shí)具有跨世紀(jì)的意義。
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