知識結構分布內容解讀備注
一基礎知識
㈠實數 理解平方根、立方根、算術平方根的概念
1有理數整數與分數統稱有理數。
⑴整數正整數、0、負整數
⑵分數正分數、負分數
2無理數無限不循環小數叫做無理數。記住幾個特殊代表：
π、√2、√3、√5、黃金比（√5-1）/2
㈡整式表示成數字與字母乘積的代數式叫做單項式（單獨一個數或字母也是）；
幾個單項式的和叫做多項式；
單項式和多項式統稱整式。一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數（單獨一個非零數的次數是0）；
一個多項是中，次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。
1同底數冪的乘除法同底數冪相乘，底數不變，指數相加。
aman=am+n(m,n都是正整數)
同底數冪相除，底數不變，指數相減。
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數,且m>n)
深刻理解：
a0=1(a≠0)
a-p=1÷ap(a≠0,p是正整數）
2冪的乘方與積的乘方冪的乘方，底數不變，指數相乘。
(am)n=amn(m,n都是正整數)
積的乘方等于每一個因數乘方的積
(ab)n=anbn(n是正整數)
3整式的運算
⑴整式加減如果遇到括號先去括號，再合并同類項。
⑵整式的乘法單項式與單項式相乘，把他們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。
單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
⑶整式的除法單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，連同它的指數一起作為商的一個因式。
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。
㈢分式整式A除以整式B，可以表示成A/B的形式。如果除式B中含有字母，那么稱A/B為分式，其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母。對于任意一個分式，分母都不能為零。
1分式的基本性質分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變。
2分式運算法則
⑴分式乘除法法則兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。
兩個分式相除，把除式的分子分母顛倒位置后再與被除式相乘。
⑵分式加減法法則同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。
異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。
3分式方程分母中含有未知數的方程叫做分式方程。解分式方程需要檢驗，因為可能會產生增根（了解產生增根的原因）。
二分解因式把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。
㈠提公因式法如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。公因式概念
㈡運用公式法由分解因式與整式乘法的關系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4(要會推導楊輝三角)
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
三多邊形在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形（指凸多邊形）。
㈠基本概念
1多邊形的內角和與外角和n變形的內角和等于（n-2）×180°；
多邊形的外角和等于360°。
2圖形的對稱
⑴中心對稱圖形在平面內，一個圖形圍繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。性質（1點）：
中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。
⑵軸對稱圖形如果一個圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。性質（3點）：
1、對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；
2、對應線段相等
3、對應角相等。
3圖形的運動
⑴圖形的平移在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動成為平移。性質（3點）：
經過平移，對應點所連的線段平行且相等；對應線段平行且相等，對應角相等。
⑵圖形的旋轉在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點成為旋轉中心，轉動的角度成為旋轉角。性質（4點）：
任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。
對應線段相等、對應角相等。
4平行線與相交線
⑴相交線明白余角、補角、對頂角的概念和運用
⑵平行線定理1：如果兩條直線平行，其同位角和內錯角分別相等、同旁內角互補。
定理2：同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補的兩條直線平行。
推理3：距離相等的兩條直線平行（自己推導的定理）。記住判定平行線的四種方法。
㈡三角形
1三角形的四條線
⑴三角形的角平分線定理1：三角形的三條角平分線相交于一點（三角形的內心），并且這一點到這三條邊的距離相等（可做唯一一個內切圓）；
定理2：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；
定理3：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
⑵三角形的中線頂點和對邊中點之間的線段（敘述不全）
⑶三角形的高線頂點和垂足之間的線段（敘述不全）三角形三條高線所在的直線交與一點，其中：
1、直角三角形交點與直角的頂點重合；
2、銳角三角形交點在三角形內；
3、鈍角三角形交點在三角形外。
⑷三角形三邊的垂直平分線定理1：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
定理2：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；
定理3：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(三角形的外心)，并且這一點到三個頂點的距離相等（可做唯一一個外接圓）。
2三角形的分類
⑴銳角三角形三個內角都是銳角的三角形叫銳角三角形。
⑵鈍角三角形有一個內角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。
⑶直角三角形有一個內角是直角的三角形叫直角三角形。
3關于三角形的幾個定理
⑴普適的定理1、三角形兩邊之和大于第三邊（可證明）；
2、三角形兩邊之差小于第三邊(可證明)。
⑵直角三角形的定理1、直角三角形兩條邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；
2、如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；
3、在一個直角三角形中，如果1個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（可證明）。
4、直角三角形的兩個銳角互余。記住幾個構成直角三角形的特殊數字：
3,4,5；5,12,13；6,8,10;7,24,25；8,15,17；9,12,15；1,1,√2(等腰直角三角形)；1,√3,2(30。直角三角形)；1,2,√5(符合黃金分割比例的直角三角形)。
⑶等腰與等邊三角形的定理1、等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；
2、有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；
3、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；
4、有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；
4三角函數Bitmap 1、記住幾個特殊角的三角函數值；
2、深刻理解函數值與Rt△的三邊關系；
3、在直角三角形內，互余的兩個銳角其中一個銳角的正弦值等于另一個銳角的余弦值。
4、在直角三角形內，互余的兩個銳角的正切函數值互為倒數。
5、同一個角的三個三角函數的關系如下;
正弦值除以余弦值等于正切值。
⑴ 正弦函數在Rt△ABC中，∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA。正弦函數越大，對應的角越大。
⑵ 余弦函數在Rt△ABC中，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA。余弦函數越大，對應的角越小。
⑶ 正切函數在Rt△ABC中，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA。正切函數越大，對應的角越大。
5全等三角形
⑴性質對應邊相等、對應角相等。
⑵判斷條件1、邊邊邊，SSS;
2、邊角邊，SAS;
3、角邊角，ASA;
4、角角邊，AAS;
5、斜邊和一條直角邊，HL（只對直角三角形有效）。利用全等三角形測距離。
㈢四邊形
1平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
⑴性質1、平行四邊形的對邊相等；
2、平行四邊形的對角相等；
3、平行四邊形的對角線互相平分。
⑵判斷條件1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
5、兩組對頂角分別相等的四邊形是平行四邊形（自己推斷論證的結論）。
⑶菱形一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
①性質1、四條邊相等；
2、對角線互相垂直平分；
3、每一條對角線平分一組對角。
②判斷條件1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
3、四條邊都相等的平行四邊形是菱形。
⑷矩形有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。
①性質1、對角線相等；
2、四個角都是直角。
②判斷條件1、有一個內角是直角的平行四邊形是矩形；
2、對角線相等的平行四邊形是矩形。
⑸正方形一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形兼具菱形和矩形的特征。
①性質具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質。
②判斷條件1、一組鄰邊相等的矩形是正方形；
2、一個內角是直角的菱形是正方形（自己加入的結論）；
3、對角線互相垂直的矩形是正方形（自己加入的結論）。
2梯形一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
⑴等腰梯形兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的面積公式=（上底+下底）x高÷2
①性質等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。
②判斷條件同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。
⑵直角梯形一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
㈣相似圖形
1基礎知識
⑴比例線段四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。
①幾個公式1、如果a/b=c/d,那么ad=bc;
2、如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0)，那么a/b=c/d。
3、如果a/b=c/d,那么(a±b)b/=(c±d)/d;
4、如果a/b=c/d=...=m/n（b+d+…n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b。
⑵黃金分割如果點C把線段AB分成一長一短兩條線段AC和BC,并且AC/AB=BC/AC,則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比，即（√5-1）/2（≈0.61803398874989...）。1、會找黃金分割點、會證明。
2、黃金比是一個無理數。
2相似多邊形各角對應相等、各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比。
⑴性質1、相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比；
2、相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。
⑵判斷條件利用概念判斷
⑶相似三角形三角對應相等、三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形。掌握用利用相似三角形測高度的三種方法。
①性質
②判斷條件1、兩角對應相等的兩個三角形是相似；
2、三邊對應成比例的兩個三角形相似；
3、兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。
3位似圖形如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又叫位似比。
⑴性質位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。
⑵判斷條件利用概念判斷
四圓平面上到頂點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為半徑。以點O為圓心的圓記做"⊙O"，讀作“圓O”。
㈠圓的幾個基本概念
1圓的對稱性1、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。
2、圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。
2圓弧（弧）優弧、劣弧的表示方法
3弦
4圓周角
5圓與圓的位置關系外離、外切、相交、內切、內含。
6圓與直線的位置關系相離、相切、相交。
㈡關于圓的幾個定理1、垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。
2、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并平分弦所對的弧。
3、在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。
4、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
5、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。
6、直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
7、不在同一條直線上的三個點確定一個圓。
8、圓的切線垂直與過切點的直徑。
9、經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。
㈢扇形的面積
1n°圓心角所對的弧長ll=圓周長×n°/360°
2n°圓心角所對的扇形面積S扇形S扇形=圓面積×n°/360°
S扇形=圓半徑×弧長÷2
3圓錐的側面積S圓錐側=π×圓錐底面半徑×圓錐母線
五函數、方程及不等式
㈠函數
1基本概念
⑴直角坐標系在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。公共原點O稱為平面直角坐標系的原點。
⑵函數的圖像把一個函數自變量x和對應因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系中描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖像。
2一次函數若兩個變量x,y間的關系式可以表示成y=kx+b(k,b是常數，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數。
⑴圖像分布規律
（第一種解讀）一次函數的圖像呈直線狀分布可以放在以點(0,b)為原點新構筑起的直角坐標系中研究，即，將X軸平移到Y=b處后與Y軸重新構筑起的新坐標系。以下的描述所說的象限指新坐標系的象限：
1、當k>0時，分布在一、三象限，y的值隨x增大而增大；
2、當k<0時，分布在二、四象限，y的值隨x增大而減小。1、關于新坐標系的理解：即將一次函數變形表示成y-b=kx(k≠0)后，把y-b看成是一個新的因變量即可，此時y-b是x的正比例函數。
2、新坐標系的概念可以應用到所有函數的圖像研究中。
3、一次函數中，直線函數圖象與x軸所形成的夾角的坡度即夾角的正切值等于k.。
⑵圖像分布規律
（第二種解讀）1、當k>0時：
1)當b>0,圖象分布在1、2、3象限
2)當b=0,圖象分布在1、3象限
3)當b<0,圖象分布在1、4、3象限
2、當k<0時：
1)當b>0,圖象分布在2、1、4象限
2)當b=0,圖象分布在2、4象限
3)當b<0,圖象分布在2、3、4象限。
3二次函數一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)的函數叫做x的二次函數。
⑴圖像分布規律二次函數的圖像呈拋物線狀分布放在以（-b/2a,(4ac-b2)/4a）為原點的新坐標系中研究。以下的描述所說的象限指新坐標系的象限：
1、當a>0時，拋物線開口向上，分布在一、二象限，其中二象限y的值隨x增大而減小、一象限y的值隨x增大而增大；
2、當a<0時，拋物線開口向下，分布在三、四象限，其中三項象限y的值隨x增大而增大、四項象限y的值隨x增大而減小。
⑵二次函數圖像的做法次序1、根據a>0或a<0確定拋物線的開口向上還是向下(a的絕對值越大，拋物線開口越小，反之開口越大)；
2、確定拋物線與y軸的交點坐標為(0,c)。
3、確定拋物線的頂點坐標（-b/2a,(4ac-b2)/4a），即以x=-b/2a為拋物線的對稱軸、以y=(4ac-b2)/4a為拋物線在縱軸上的最高點或最低點；
4、確定與x軸的兩個交點的橫坐標-b/2a±(√b2-4ac)/∣2a∣。
記住三個特殊二次函數的圖像規律：
1、y=ax2+c(a,c為常數,a≠0)的圖像以y軸為對稱軸，以(0,c)為頂點；
2、y=ax2(a為常數,a≠0)的圖像為頂點在原點的拋物線;
3、y=ax2+bx(a,b為常數,a≠0)的圖像以x=-b/2a為對稱軸，拋物線與y軸的交點在原點。
⑶二次函數頂點的推導1、利用完全平方公式可以將二次函數表達式轉化成下述樣式：
y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a；
2、由上式可知拋物線頂點坐標為（-b/2a,(4ac-b2)/4a），x=-b/2a為對稱軸；
3、如果拋物線與x軸有交點，則x的值為-b/2a±(√b2-4ac)/∣2a∣(此即為一元二次方程的解)，兩個值差的一半是(√b2-4ac)/∣2a∣。
⑷二次函數與x軸是否有交點的判斷方法當a大于0時：
1、當（4ac-b2)/4a大于0，則與x軸無交點。
2、當（4ac-b2)/4a等于0，則與x軸有一個交點，并且為其頂點。
3、當（4ac-b2)/4a小于0，則與x軸有兩個交點。
當a小于0時;
1、當（4ac-b2)/4a大于0，則與x軸有兩個交點。
2、當（4ac-b2)/4a等于0，則與x軸有一個交點，并且為其頂點。
3、當（4ac-b2)/4a小于0，則與x軸無交點。
4正比例函數一次函數中，當b=0時，稱y是x的正比例函數
5反比例函數一般地，如果兩個變量x,y間的關系式可以表示成y=k/x(k是常數，k≠0)的形式，則稱y是x的反比例函數，x≠0。
⑴圖像分布規律1、當k>0時，分布在一、三象限，y的值隨x增大而增大；
2、當k<0時，分布在二、四象限，y的值隨x增大而減小。深入研究y=k/x+b的圖像分布規律(在以(0,b)為原點的新坐標系所構筑的四個象限內呈現前述圖像分布規律)。
㈡方程
1一元一次方程在一個方程中，只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次），這樣的方程叫一元一次方程。
2一元二次方程
⑴一元二次方程的基本解法1、配方法；
2、公式法；
3、分解因式法。會證明黃金比。
3二元一次方程含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。理解二元一次方程與一次函數的關系。
4二元一次方程組含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組。
⑴二元一次方程組的基本解法1、代入消元法，簡稱代入法；
2、加減消元法，簡稱加減法。注意尋找兩種方法的使用規律。
⑵二元一次方程組的幾種基本應用見書上例題，比如：雞兔同籠、增收節支、里程碑上的數等。
㈢不等式一般地，用符號"<"(或"≤")，">"(或"≥")連接的式子叫做不等式。
1不等式的基本性質1、不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變。
2、不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。
3、不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。
2一元一次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的不等式叫做一元一次不等式。理解其解集與一次函數的圖像關系。
3一元一次不等式組一般地，關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起就組成了一元一次不等式組。
⑴一元一次不等式組的解集一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做一元一次不等式組的解集。
⑵解不等式組求不等式組解集的過程叫做解不等式組。
六統計與概率
㈠科學計數法一般地，一個大于10的數可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整數，這種計數方法叫做科學計數法。10-6米是1微米；10-9米是1納米。
㈡統計圖的分類及應用范圍
1扇形統計圖能看清各部分所占比重。
2條形統計圖能看清每個項目的具體數目。
3折線統計圖能看清事物的變化情況。
㈢有效數字對于一個近似數，從左邊不是0的第一個數字起到精確到的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。
㈣概率必然事件發生的概率為1，計作P(必然事件)=1；不可能事件發生的概率為0，計作P(不可能事件)=0；如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1。
㈤算術平均數、加權平均數
㈥中位數、眾數一般地，n個數據按照大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。
一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。
㈦普查與抽樣調查
㈧總體、個體、樣本
㈨頻數、頻率每個調查對象出現的次數叫頻數。
每個調查對象出現的次數與總次數的比值叫頻率。
㈩極差、方差、標準差極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差。
方差是指一組數據中各個數據與平均數之差的平方的平均數（用S2表示）。
方差的算術平方根。越小代表一組數據越穩定。
