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• 數(shù)學(xué)問題的處理策略-數(shù)學(xué)建模
• 三角形
• 矩形
• 圓
• 體積、面積

建模、基礎(chǔ)何學(xué)

生活中，我們被各種幾何形狀包圍著。建筑師用幾何學(xué)來設(shè)計(jì)建筑物。藝術(shù)家們用五顏六色的幾何形狀創(chuàng)造生動(dòng)的圖像。街道標(biāo)識(shí)、汽車和產(chǎn)品包裝都用到了幾何學(xué)。在本章中，將從如何解決問題開始，用它解決各種常見的問題，如金融決策。然后探索幾何學(xué)，聯(lián)系實(shí)際情況解決問題。

數(shù)學(xué)問題的處理策略-數(shù)學(xué)模型

前幾章中，我們先從文字信息中提煉數(shù)學(xué)詞匯和短語(yǔ)，然后用數(shù)學(xué)表達(dá)式建模。用一個(gè)例子來練習(xí)，如：A以18元買了一件折扣襯衫，價(jià)格是原價(jià)的一半，那么它的原價(jià)是多少？

1. 首先理解題意
2. 明確問題目標(biāo)：襯衫的原價(jià)
3. 為問題的目標(biāo)設(shè)置變量，另x等于襯衫的原價(jià)
4. 根據(jù)某些詞匯或短語(yǔ)列出方程式
5. 解方程
6. 驗(yàn)證方程的解
7. 回答問題的結(jié)果

幾何--對(duì)圍繞點(diǎn)、線、面三個(gè)基本要素所構(gòu)成的圖形的研究，我們?nèi)粘Ｒ话銖亩S平面、三維空間考察圖形。這樣就引出了一系列的概念，比如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、體積、角度等等。

長(zhǎng)度：線段的度量，單位有毫米、厘米、分米、米等。

周長(zhǎng)：度量圖形外圍邊界的長(zhǎng)度。

面積：度量圖形所覆蓋區(qū)域的大小，單位--平方。

體積：度量立體空間中幾何圖形的容量，單位--立方

角度：在平面中從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的夾角，單位--度

矩形

首先，什么是四邊形？它是在平面中將四個(gè)頂點(diǎn)連接起來的圖形。從一般到特殊：

1. 一般四邊形、特殊四邊形
2. 特殊四邊形：平行四邊形、梯形
3. 特殊平行四邊形：矩形、菱形
4. 特殊矩形或菱形：正方形
5. 特殊梯形：等腰梯形、直角梯形

這里簡(jiǎn)單介紹一下矩形，它由四條邊及其組成的四個(gè)直角構(gòu)成，且對(duì)邊平行并相等。長(zhǎng)邊為L(zhǎng)，短邊為W

那么矩形周長(zhǎng)是

那么矩形面積是

三角形

三角形是在平面中將三個(gè)頂點(diǎn)連接起來的圖形

1. 按邊：一般、等腰、等邊
2. 按角：銳角、直角、鈍角

角：從一個(gè)點(diǎn)引出的兩條射線構(gòu)成的夾角。兩條射線是角的邊，射線的出發(fā)點(diǎn)是角的頂點(diǎn)。如：頂點(diǎn)A出發(fā)的兩條射線的夾角為∠A

頂點(diǎn)為A的角

角的大小用度來度量。如：

兩角之和等于180度，它們互為補(bǔ)角。

兩角和為180度

兩角之和等于90度，它們互為余角。

兩角和為90度

我們?cè)倏纯慈切巍Ｈ切斡扇龡l邊和三個(gè)角構(gòu)成的圖形，用△表示。一般用大寫字母表示頂點(diǎn)，小寫字母或兩個(gè)頂點(diǎn)表示邊

三角形ABC

且三角形的內(nèi)角和∠A + ∠B + ∠C = 180度。特殊三角形：等腰、等邊、直角...；三角形間的特殊關(guān)系：相似、全等...；

直角三角形

直角三角形是有一個(gè)角為90度的三角形。

相似三角形

幾何中兩個(gè)圖形有相同的形狀但大小不同，有等比例性稱為相似圖形。相似三角形是各角都相同，而各邊等比例的兩個(gè)三角形

三角形相似

勾股定理

勾股定理是直角三角形的特殊性質(zhì)，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

三角形的周長(zhǎng)、面積

三角形的周長(zhǎng)是三邊之和，即 P = a + b + c。那么三角形的面積呢？這里我們借助矩形來研究三角形的面積，由于連接矩形對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)可以把矩形分成兩個(gè)全等的直角三角形，說明矩形的面積A等于這兩個(gè)直角三角形的面積之和

A=bh，所以直角三角形的面積A/2，即bh/2

所以，這里直角三角形的面積是bh/2。我們把它一般化：b為三角形的底，h為三角形的高

S=hb/2

也就是說，三角形的面積等于底乘以高的一半。

等腰、等邊三角形

等腰三角形是有兩條邊相等的三角形；等邊三角形是三邊都相等的三角形。

梯形

梯形是一個(gè)四邊形，其中有兩邊平行而另外兩邊不平行。平行的兩條邊叫作底邊，分別是上底和下底

上底b，下底B，高為h

對(duì)于梯形的面積

梯形面積

我們可以通過分拆梯形來看面積公式的由來

紅色三角形的面積

藍(lán)色三角形的面積

所以，梯形面積即為它們的和。

圓

圓的定義是以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的封閉曲線構(gòu)成的圖形。它的直徑為2r，周長(zhǎng)為2πr，面積是π與r平方的積。

表面積和體積

表面積、體積是針對(duì)三維空間中圖形的特征描述。表面積是把立體圖形中各個(gè)面的面積累加；而體積是立體圖形中內(nèi)部空間的容積。我們以立方體為例

每一層都由8個(gè)單位立方體組成的2*4*3立方體

它的長(zhǎng)(L)、寬(W)、高(H)各是4, 2, 3。體積V = L * W * H = 4 * 2 * 3

我們也可以把它理解為高h(yuǎn)乘以底得到V，而底是一個(gè)面的面積s

• s = 4 * 2時(shí)，V = hs = 3 * (4 * 2)
• s = 4 * 3時(shí)，V = hs = 2 * (4 * 3)
• s = 2 * 3時(shí)，V = hs = 4 * (2 * 3)

球、圓柱、圓錐

球體

球的體積、面積

圓柱體

圓柱的體積、面積

圓錐體

參考公式